Das Problem

Gegenstand der Betrachtungen sind lineare Transformationen der Form

mit gegebener und im allgemeinen Fall rechteckiger Matrix A (Koeffizientenmatrix) und ebenfalls gegebenem "Vektor der rechten Seite" b. Ziel ist die Berechnung des "Vektors der Unbekannten" x und die Frage, unter welchen Voraussetzungen dies (eindeutig) möglich ist. Einfaches Beispiel (eines Systems mit quadratischer Koeffizientenmatrix):

     oder in Matrixschreibweise    

(man überzeugt sich leicht, dass die Lösung  x₁=2 ; x₂=3 ; x₃=4 alle 3 Gleichungen erfüllt).

Wegweiser zu den behandelten Themen

• Lösbarkeit des linearen Gleichungssystems, Determinanten, Singularität (Vorbetrachtungen für 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten, Determinanten n-ter Ordnung, Rang einer Matrix, Lösbarkeit bei rechteckiger und quadratischer Koeffizientenmatrix, ...)
   
• Direkte Lösungsverfahren (Gaußscher Algorithmus, Pivotisierung, verketteter Algorithmus, Triangularisierung, Gauß-Jordan-Verfahren, Matrixinversion, symmetrische Koeffizientenmatrix, Cholesky-Zerlegung, homogene Gleichungssysteme, ...)
   
• Iterationsverfahren (Testrechnungen mit verschiedenen Verfahren, Präkonditionierung, ...), speziell: Methode der konjugierten Gradienten
   
• Nutzung von Standardsoftware
   
• Rundungsfehler, Kondition einer Matrix, Singularität, Skalierung (schlechte Konstruktion => schlechte Kondition, Ursachen für Singularität, Schwierigkeit, Singularität zu erkennen, Zusammenhang Kondition <=> Rundungsfehler, Konvergenzverbesserung durch Skalierung, ...)
   
• Große Gleichungssysteme, dünn besetzte Koeffizientenmatrix ("Sparse", "Band". "Skyline")
   
• Überbestimmte Gleichungssysteme (Anzahl der Gleichungen ist größer als die Anzahl der Unbekannten)

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