Lineare Transformation, Matrix, Vektor

Die Lehre von den Matrizen befasst sich mit den linearen Beziehungen zweier Größensysteme

x₁, x₂, x₃, .... , x_n       bzw.     y₁, y₂, y₃, .... , y_m

(n ist die Anzahl der x-Elemente, m die Anzahl der y-Elemente) in der Form

Hierfür wird symbolisch

geschrieben mit der mn-Matrix A (Rechteckmatrix mit m Zeilen und n Spalten) und den Vektoren x (n-dimensional) und y (m-dimensional):

Die a_ik sind die Elemente der Matrix A, die x_i bzw. y_i die Komponenten der Vektoren x bzw. y.

Die Beziehung  A x = b wird "Lineare Transformation des Vektors x in den Vektor y" genannt. Beziehungen dieser Art findet man in der Technischen Mechanik z. B. zwischen den Belastungen und Lagerreaktionen von Trägern und Rahmen, den Belastungen und den Stabkräften eines Fachwerks, den Belastungen und Verformungen von elastischen Tragwerken, ...

Man beachte, dass mit diesen Definitionen auch eine wichtige Rechenregel für den Umgang mit Matrizen und Vektoren festgelegt wurde:

Eine Matrix wird mit einem Vektor so multipliziert, wie es die eingangs angegebene
Beziehung zwischen den beiden “Größensystemen” beschreibt.