|
Einen nicht verschwindenden Vektor x (x ist also kein Nullvektor), der der Gleichung
genügt, nennt man Eigenvektor der quadratischen Matrix A, den zugehörigen Wert λ Eigenwert. In der Technischen Mechanik findet man Eigenwerte z. B. als Eigenfreuenzen eines Schwingungssystems (vgl. z. B. "Eigenschwingungen mit der Finite-Elemente-Methode", "Biegeschwingungen gerader Träger" oder die Aufgabe 32-6), die u. a mit der Finite-Elemente-Methode oder dem Differenzenverfahren auf ein Matrizeneigenwertproblem führt). Auch die kritischen Lasten bei Stabilitätsproblemen werden vornehmlich über die Eigenwerte von Matrizen bestimmt (vgl. z. B. "Knickstab unter Eigengewicht" oder "Verfahren von Ritz für Knickstäbe").
Die Eigenwerte einer Matrix sind gegenüber Ähnlichkeitstransformationen invariant, während sich die Eigenvektoren entsprechend dem Übergang zur neuen Basis transformieren.
Auch die Eigenwerte von reellen Matrizen können komplex sein. Deshalb ist ein Sonderfall besonders wichtig: Eine (reelle) symmetrische n-dimensionale Matrix besitzt n verschiedene Eigenvektoren (die zugehörigen Eigenwerte brauchen nicht alle verschieden voneinander zu sein). Die Eigenwerte solcher Matrizen sind sämtlich reell, die Eigenvektoren bilden ein Orthogonalsystem.
Die Matrizeneigenwertprobleme sind ein umfangreiches Spezialgebiet der Matrizen-Numerik.
|
