Homogenes Gleichungssystem mit quadratischer Koeffizientenmatrix
Ein homogenes Gleichungssystem mit quadratischer Koeffizientenmatrix A (n Gleichungen mit n Unbekannten) hat nur die triviale Lösung, wenn die Matrix A regulär ist. Dieser Fall ist im Allgemeinen von geringem Interesse (man beachte den Unterschied zu inhomogenen Gleichungssystemen mit quadratischer Koeffizientenmatrix, bei denen der Fall regulärer Matrix der im Allgemeinen einzige interessierende Fall ist, weil dann das System eine eindeutige Lösung hat).
Wozu braucht man das?
Homogene Gleichungssysteme mit quadratischer Koeffizientenmatrix ergeben sich z. B. in der Technischen Mechanik bei der Behandlung von Stabilitätsproblemen und Schwingungsproblemen.
Dabei steckt in der Matrix A ein Parameter (kritische Last, Eigenfrequenz, ...), der so bestimmt wird, dass A singulär wird und damit nichttriviale (und damit technisch interessante) Lösungen des Gleichungssystems existieren.
Die beiden wichtigsten Varianten und Lösungsstrategien für die bei den genannten Problemen entstehenden homogenen Gleichungssysteme werden am Beispiel der Biegeschwingungen eines massebehafteten Trägers demonstriert. |
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Ein homogenes lineares Gleichungssystem mit quadratischer Koeffizientenmatrix (n Gleichungen mit n Unbekannten)
hat nur dann nichttriviale Lösungen (der Wert mindestens einer Unbekannten xi ist von Null verschieden), wenn die Matrix A singulär ist. Diese Lösungen sind allerdings nicht eindeutig (die Anzahl der frei wählbaren Parameter entspricht dem Defekt der Matrix A).
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Beispiele:
Das homogene Gleichungssystem
hat eine reguläre Koeffizientenmatrix (auf der Seite "Determinanten n-ter Ordnung" wird gezeigt, dass für die Determinante dieser Matrix det(A) = – 21 gilt). Es hat deshalb nur die triviale Lösung
x1 = x2 = x3 = 0
(ein beliebiges Lösungsverfahren, z. B. der Gaußsche Algorithmus, würde auch dieses Ergebnis liefern).
Das homogene Gleichungssystem
hat dagegen eine singuläre Koeffizientenmatrix (man überzeugt sich leicht, dass det(A) = 0 gilt, denn die dritte Zeile ist gleich der Differenz des Doppelten der zweiten Zeile und der ersten Zeile). Man erhält nach einigen elementaren Umformungen (entsprechend dem Gauß-Algorithmus):
Hier wurde x3 als die beliebig festzulegende Unbekannte gewählt, rechts sieht man eine kleine Auswahl möglicher Lösungen. Der letzte der angegebenen drei Lösungsvektoren ist die normierte Variante des Lösungsvektors (Vektor der Länge 1). Mit der zusätzlichen Forderung "Normierter Lösungsvektor" wird auch für diesen Fall die Lösung eindeutig.
Ist der Defekt der Koeffizientenmatrix größer als 1, dann können mehrere Unbekannte frei gewählt werden. Mit den zusätzlichen Forderungen nach normierten und orthogonalen Lösungsvektoren wird auch in diesen Fällen die Lösungsmenge eindeutig. Der Lösungsraum (Menge aller Lösungen) des homogenen Gleichungssystems wird als "Nullraum" oder "Kern" der Matrix A bezeichnet. Der Satz orthonormierter Lösungsvektoren ist dementsprechend eine "Basis des Nullraums".
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