Analytische Lösung ==> Homogenes Gleichungssystem
Im Skript "Biegeschwingungen gerader Träger" (PDF) wird die Theorie ausführlich dargestellt und gezeigt, dass sich die Eigenschwingungsformen in dem oben dargestellten Koordinatensystem in der Form
aufschreiben lassen (es gibt bei diesem System mit "unendlich vielen Freiheitsgraden" unendlich viele Eigenfrequenzen mit jeweils einer zugehörigen Schwingungsform, der Index i bezieht sich auf die i-te Schwingungsform). Die darin enthaltenen Parameter λi sind mit den Eigenkreisfrequenzen der Schwingungen über die Beziehung
verknüpft, und die Konstanten C1,i bis C4,i sind die Lösungen des homogenen Gleichungssystems
Natürlich interessieren nur die nichttrivialen Lösungen, denn die triviale Lösung beschreibt nur die Ruhelage des Systems. Schwingungen sind also nur möglich, wenn die Koeffizientenmatrix A singulär ist, ihre Determinante den Wert Null hat. Die Bedingung
führt auf die Bestimmungsgleichung für die λi-Werte, die für diesen einfachen Fall durch Entwicklung der Determinante erzeugt werden kann:
liefert die λi-Werte, für die das homogene Gleichungssystem nichttriviale Lösungen hat. Die numerische Lösung dieser Gleichung mit Matlab wird bei der exakten Lösung der Aufgabe 32-6 auf verschiedene Weise realisiert (siehe auch: "Matlab: Beispiel einer Nullstellenberechnung"). Die Gleichung hat unendlich viele Lösungen, die drei kleinsten sind:
λ1 = 3,9266 ; λ2 = 7,0686 ; λ3 = 10,2102 ; ...
Für jedes λi ist die Koeffizientenmatrix A des homogenen Gleichungssystems singulär. Damit kann für jedes λi ein Satz nichttrivialer Konstanten C1,i bis C4,i (bis auf einen beliebigen Faktor) berechnet werden, so dass die zugehörige Eigenschwingungsform Zi nach der oben angegebenen Formel aufgeschrieben werden kann. In Matlab ist das z. B. zu realisieren durch den Aufruf der null-Function, der entsprechend
ci = null (Ai)
die Matrix Ai (berechnet mit dem Wert für λi) übergeben wird. Abgeliefert wird der Vektor der 4 Konstanten C1,i bis C4,i. Nebenstehend sind die graphischen Darstellungen der Schwingungsformen für die ersten drei Eigenfrequenzen zu sehen.
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