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Backslash, chol und linsolve
 Zur Demonstration der wichtigsten direkten Lösungsverfahren, die von Matlab angeboten werden, wird hier ein Finite-Elemente-Modell erzeugt (Berechnungs-Modell der Brücke über den Nord-Ostsee-Kanal bei Rendsburg). Es ist ein System mit 4482 Unbekannten und hat die für FEM-Modelle typische dünn besetzte Koeffizientenmatrix, die symmetrisch und positiv definit ist. Dieses Modell wird auch an anderer Stelle benutzt, um die Speichervarianten "Band", "Skyline", "Sparse" und "Voll" zu demonstrieren (dort wird auch gezeigt, was eigentlich mit dem Gleichungssystem berechnet wird) und für Vergleichsrechnungen mit den von Matlab angebotenen iterativen Verfahren.
DerAlgorithmus für den Aufbau des Gleichungssystems ist für die hier anzustellenden Überlegungen nicht von Belang (für Interessenten: Matlab-Femset). Das Modell wird im nachfolgend zu sehenden Matlab-Script in der Zeile 3 von einer Datei gelesen, in Zeile 5 wird das lineare Gleichungssystem mit einer symmetrischen Bandmatrix erzeugt. Diese wird in den Zeilen 7 und 8 in die beiden Speichformate "Sparse" bzw. "Voll" umgewandelt, die den Matlab-Functions angeboten werden können. Hier sollen zunächst nur die erforderlichen Rechnenzeiten für die verschiedenen Verfahren und Speicherformate ermittelt werden.
 Vom Standard-Solver (Backslash-Operator) darf laut Matlab-Helpsystem erwartet werden, dass er die Symmetrie und positive Definitheit der Koeffizientenmatrix erkennt und ausnutzt. Mit diesem Operator wird das Gleichungssystem in Zeile 11 mit der "Sparse matrix" gelöst, in Zeile 22 mit der voll besetzten Matrix.
Die Function chol führt ausschließlich die Cholesky-Zerlegung der Matrix aus (es wird kein Gleichungssystem gelöst), deshalb muss anschließend das Vorwärts- und Rückwärtseinsetzen gesondert durchgeführt werden (hier mit dem Backslash-Operator realisiert, beide Operationen wurden in einer Zeile nacheinander aufgerufen). Auch der Function chol kann die Matrix sowohl als "Sparse matrix" (Zeile 15) als auch als voll besetzte Matrix angeboten werden (Zeile 26).
Diese Variante ist in der Programmierung für den Anwender etwas aufwändiger, und vermutlich werden in beiden Varianten die gleichen Algorithmen abgearbeitet. Aber natürlich ist die "Cholesky-Variante" für den Anwender sicherer. Es wird zwar in beiden Fällen der Test auf positive Definitheit durchgeführt, aber bei der "Backslash-Variante" erfährt der Anwender das Ergebnis dieses Tests nicht, denn bei negativem Ausgang wechselt der Backslash-Operator automatisch zu einem Verfahren, das die positive Definitheit nicht voraussetzt.
Vermutlich um genau diesen Informationsmangel des komfortablen Backslash-Operators zu heilen, wird ab Matlab 7 (R14) die Function linsolve als Alternative angeboten, die den Komfort des Backslash-Operators bietet, aber dem Anwender gestattet, über Optionen auf die Wahl des Lösungsverfahrens Einfluss zu nehmen. Dies wird in den Zeilen 33 und 34 demonstriert. In Zeile 33 werden die Optionen SYM (symmetrische Matrix) und POSDEF (positiv definite Matrix) gesetzt, die beim linsolve-Aufruf in Zeile 34 mit übergeben werden. Damit wird linsolve gezwungen, nur Lösungsverfahren zu wählen, die Symmetrie und positive Definitheit voraussetzen.
 Der nebenstehend zu sehende Schnappschuss des Command windows zeigt die Ergebnisse (mit einem Notebook mit 1,66-GHz-Prozessor, aber wichtig sind nicht die absoluten Werte, sondern die Relationen):
- Die Lösung des Gleichungssystems mit 4482 Gleichungen erfolgt bei Nutzung der "Sparse matrix"-Speicherung außerordentlich schnell.
- Die für Cholesky-Zerlegung und Vorwärts-Rückwärts-Einsetzen insgesamt erforderliche Zeit ist geringfügig kleiner als die für den Backslash-Operator (dies ist bei diesem Beispiel eher zufällig, zur Optimierung der Rechenzeiten für die chol-Function vgl. die Seiten "Matlab: Vergleich Backslash-Operator und chol" und "Reduzierung von Bandweite und Fill-in".
- Diese Aussagen gelten sinngemäß auch für das Arbeiten mit voll besetzter Koeffizientenmatrix (auch linsolve spart etwas Zeit bei der Verfahrensauswahl), aber die erforderlichen Rechenzeiten sind erwartungsgemäß drastisch größer.
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Mit dem oben demonstrierten Beispiel scheint die Strategie klar zu sein: Wenn keine Prüfung der symmetrischen Koeffizientenmatrix auf positive Definitheit (oder einer anderen Eigenschaft, linsolve kann mehr als hier demonstriert) gewünscht wird, dann verwendet man den Backslash-Operator, ansonsten linsolve.
Das nebenstehend zu sehende Command Window zeigt die erwarteten Ergebnisse:
einzuhandeln, sollte man unbedingt die Strukturoptimierung der dünn besetzten Koeffizientenmatrix realisieren, die auf der Seite "Reduzierung von Bandweite und Fill-in" beschrieben wird.
