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Definition

Auf den indischen Mathematiker Dattaraya Ramchandra Kaprekar (1905 - 1986) gehen u. a. zwei interessante Probleme der Zahlentheorie zurück. Hier wird das Problem der so genannten Kaprekar-Zahlen behandelt, den Kaprekar-Konstanten ist eine eigene Seite gewidmet.

Ein natürliche Zahl (zum Beispiel: 4879), deren Quadratzahl (48792 = 23804641) sich so in zwei Teile zerlegen lässt, dass deren Summe wieder die Originalzahl ergibt (im Beispiel: 238 + 04641 = 4879), heißt Kaprekar-Zahl.

Dabei darf der zweite Summand (wie im Beispiel) ein oder mehrere führende Nullen haben, darf aber nicht komplett aus Nullen bestehen (deshalb ist z. B. 9999 wegen 99992 = 99980001 und damit 9998 + 0001 = 9999 eine Kaprekar-Zahl, 10000 dagegen nicht, obwohl sich das Ergebnis von 100002 = 100000000 zwar durch die Summe 10000 + 0000 = 10000 darstellen lässt, in der allerdings der zweite Summand das oben formulierte Kriterium nicht erfüllt).

Die Kaprekar-Zahlen sind sehr ungleichmäßig verteilt (siehe nebenstehende Liste): In der ersten Million natürlicher Zahlen findet man 54 Kaprekar-Zahlen, in der zweiten, dritten und vierten Million gar keine, dann aber tauchen sie wieder auf.

Die Frage, ob es eine größte Kaprekar-Zahl gibt, kann mit Sicherheit verneint werden, denn alle Zahlen, die ausschließlich mit der Ziffer 9 gebildet werden (darstellbar als 10n − 1), sind Kaprekar-Zahlen. Beim Quadrieren entsprechend

(10n − 1)2 = 102n − 2·10n + 1 = 999...9980000...0001

entsteht bei der Subtraktion der 2 auf der mittleren Position eine 8, davor gibt es dann nur die Ziffer 9. Dieser Anteil 999...9998 summiert sich mit der 1 am Ende immer zur Originalzahl.

Kaprekar-Zahlen von
1 ... 10000000:

1 9 45 55 99 297 703 999 2223 2728 4879 4950 5050 5292 7272 7777 9999 17344 22222 38962 77778 82656 95121 99999 142857 148149 181819 187110 208495 318682 329967 351352 356643 390313 461539 466830 499500 500500 533170 538461 609687 627615 643357 648648 670033 681318 791505 812890 818181 851851 857143 961038 994708 999999 4444444 4927941 5072059 5479453 5555556 8161912 9372385 9999999

Script zur Suche nach Kaprekar-Zahlen

Das nachfolgende Script dient zur Suche nach Kaprekarzahlen. Es werden n natürliche Zahlen, beginnend mit einer vorzugebenden Startzahl, untersucht. Die Kaprekar-Zahlen, die sich unter diesen n Zahlen befinden, werden ausgegeben.

Man beachte, dass die Suche über einen großen Bereich recht aufwendig sein kann. In Abhängigkeit von der Geschwindigkeit des verwendeten Computers sollte man zunächst probieren, wie lange eine Überprüfung von 10000 Zahlen dauert, bevor man in einem Lauf 100000 Zahlen untersuchen lässt.

Kaprekar-Zahlen
Es werden n =  natürliche Zahlen untersucht, beginnend mit der Startzahl  .