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Kaprekar-Konstanten und Kaprekar-Zahlen

Auf den indischen Mathematiker Dattaraya Ramchandra Kaprekar (1905 - 1986) gehen u. a. zwei interessante Probleme der Zahlentheorie zurück. Hier wir das Problem der so genannten Kaprekar-Konstanten behandelt, den Kaprekar-Zahlen ist eine eigene Seite gewidmet.

Das Phänomen, das mit den Kaprekar-Konstanten verknüpft ist, wurde im Jahre 1949 zunächst für vierstellige Zahlen formuliert:

Satz von Kaprekar:

Man nehme eine beliebige vierziffrige Zahl (z. B.: 2195), bei der nicht alle vier Ziffern gleich sind (also nicht 1111, 2222, 3333, ...) und ordne die Ziffern der Größe nach absteigend (im Beispiel: 9521). Von der entstehenden Zahl subtrahiere man die Zahl, die bei aufsteigender Anordnung der Ziffern entsteht (im Beispiel: 1259). Mit der entstandenen neuen Zahl (im Beispiel: 9521 − 1259 = 8262) wird der Prozess wiederholt.

Nach einigen Schritten landet man immer bei der Zahl 6174 ("Kaprekar-Konstante" für vierstellige Zahlen), die sich dann bei weitereren Schritten stets selbst reproduziert.

Eine entsprechende Aussage kann für dreiziffrige Zahlen formuliert werden, für die die Zahl 495 die Kaprekar-Konstante ist. Für die Startzahl 573 berechnet man zum Beispiel:

753 − 357 = 396   →   963 − 369 = 594   →   954 − 459 = 495   →   954 − 459 = 495  .

Man probiere die beiden Aussagen mit dem nachstehenden Script aus!

Kaprekar-Algorithmus für beliebige Startzahlen
Die Rechnung wird nach Erreichen einer Kaprekar-Konstanten, dem Eintritt in einen Zyklus, spätestens jedoch nach nmax Schritten abgebrochen.
Startzahl:
nmax =

Startzahlen mit beliebiger Ziffernanzahl

Vor der Formulierung weiterer Aussagen werden folgende Begriffe vereinbart:

Folgende Aussagen über Startzahlen mit unterschiedlicher Anzahl von Ziffern sind möglich:

Natürlich enden alle Kaprekar-Folgen beliebiger Startzahlen irgendwann in einem Zyklus, weil es nur eine endliche Menge möglicher Ergebnisse der Kaprekar-Schritte gibt und sich zwangsläufig ein Ergebnis irgendwann wiederholt, und damit beginnt ein Zyklus. Überraschend ist jedoch, wie schnell das im Allgemeinen passiert. Man probiere es aus: Selbst bei 20-stelligen Startzahlen darf man darauf vertrauen, dass das Script nach relativ kurzer Zeit ein Ergebnis liefert.

Algorithmen zur Erzeugung von Kaprekar- Konstanten

Eine umfassende und sehr interessante Untersuchung zu diesem Thema wurde mir von Josef Meiler geliefert. Hier findet man sie als PDF-Datei.