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2014 Primfaktorensummen, Zwillinge, ...   
 

Primfaktorsumme, erweiterte Primfaktorsumme

Seit 2002 (dem "Palindromjahr") habe ich zu jeder Jahreszahl eine kleine mathematische Betrachtung angestellt (eigentlich ohne jede praktische Anwendung, aber sehr viele Besucher meiner Website fanden sie möglicherweise gerade deshalb interessant). Die Links existieren noch (siehe nebenstehende Liste).

Der für die Zahlentheorie so wichtige Fundamentalsatz der Arithmetik ("Jede natürliche Zahl n ist als Produkt aus Primzahlen darstellbar.") war bisher nur einmal (im Jahr 2013 mit der Primfaktor-Zerlegung 2013 = 3·11·61) Ausgangspunkt der Überlegungen. Die Zahl 2014 schließt sich mit der völlig anderen Zerlegung 2014 = 2·19·53 direkt an (unten findet man ausführlichere Erläuterungen zu allen Begriffen). Auf die folgende Besonderheit machte mich Karl Hovekamp (siehe die hübsche Darstellung auf dieser Seite) aufmerksam:

Die Summen der Primfaktoren der beiden Zahlen 3+11+61=75 bzw. 2+19+53=74 unterscheiden sich wie die beiden Ausgangszahlen um den Wert 1. Wenn man nun jeweils die Zahlen selbst zu ihrer Primfaktorsumme addiert (das Ergebnis soll "erweiterte Primfaktorsumme" En genannt werden), erhält man mit

E2013 = 2013 + 3 + 11 + 61 = 2014 + 2 + 19 + 53 = E2014

ein bemerkenswertes Ergebnis, das diesen beiden Zahlen eine Verwandtschaft ("Primfaktorenzwilling") zuschreibt. Solche Zwillinge sind nicht sehr häufig, und es gilt:

Die Jahreszahl 2014 ist die größere Zahl eines Primfaktorenzwillings (ein Ereignis, das es seit 1480 nicht gegeben hat), und das Zwillingspärchen 2013/2014 ist das 14. Pärchen in der Folge der natürlichen Zahlen (und in diesem Satz findet man die Langform 2014 und die Kurzform 14 der aktuellen Jahreszahl, und das gab es noch nie und wird es auch nicht noch einmal geben).

Primfaktorzerlegung

Der Begriff der Primfaktorzerlegung einer natürlichen Zahl n in ein Produkt aus Primzahlen (Primfaktoren) wird dahingehend erweitert, dass dann, wenn n selbst eine Primzahl ist, sie ihr einziger Primfaktor ist. Die Primfaktoren können auch mehrfach auftreten. Beispiele für Primfaktorzerlegungen: 91 = 7·13 ; 41 = 41 ; 48 = 2·2·2·2·3 = 24·3.

Natürliche Zahl (> 1), die zerlegt werden soll:

   

Primfaktorzerlegung:

 

Die Aufgabe, für eine gegebene natürliche Zahl die Primfaktorzerlegung zu finden, kann sehr aufwendig (bis praktisch unmöglich) sein. Theoretisch ist die Aufgabe natürlich immer mit beliebig schnellen Computern und beliebig langer Rechenzeit lösbar. Produkte zweier sehr großer Primzahlen werden deshalb in der Kryptologie (Ver- und Entschlüsselung von Texten) als so genannte "Public keys" verwendet, weil man davon ausgehen darf, dass die Primfaktorzerlegung der Produkte praktisch unmöglich ist.

Für "kleine Zahlen" (bis etwa 10 000 000 000) schafft das nebenstehende kleine Script die Primfaktorzerlegung jedoch mühelos.

Primfaktorenzwillinge

Primfaktorenzwillinge sind zwei aufeinander folgende natürliche Zahlen ni und ni+1 = ni + 1, für die die erweiterten Primfaktorensummen gleich sind (die Anzahl der Primfaktoren r bzw. s darf dabei unterschiedlich sein):

ni + pi,1 + pi,2 + ... + pi,r = ni+1 + pi+1,1 + pi+1,2 + ... + pi+1,s .

Hierin stehen die pi,j für die Primfaktoren in  ni = pi,1 · pi,2 · ... · pi,r bzw.  ni+1 = pi+1,1 · pi+1,2 · ... · pi+1,s (siehe oben behandeltes Beispiel mit ni = 2013 und ni+1 = 2014).

Berechnung der Primfaktorenzwillinge
von bis    
 

Mit dem nebenstehenden Script kann man die Primfaktorenzwillinge in einem vorzugebenden Bereich berechnen.

Man beachte, dass die Berechnung recht aufwendig ist (für alle Zahlen im untersuchten Bereich sind die Primfaktorenzerlegungen auszuführen). Allerdings darf man durchaus 100 000 Zahlen in einem Programmlauf berechnen lassen, bei 1 000 000 Zahlen muss man seinem PC schon einige Sekunden Rechenzeit zubilligen.

Mütter und Töchter

Nach einem Vorschlag von Karl Hovekamp sollte man die gemeinsame erweiterte Primfaktorensumme von Primfaktorenzwillingen als "Mutterzahl" bezeichnen, was die Frage aufwirft, ob es zu einer solchen Mutterzahl gegebenenfalls noch weitere "Töchter" gibt als Einzelkinder oder gar ein weiteres Zwillingspärchen, existiert vielleicht irgendwo gar ein "Drilling"?

Berechnung aller Töchter für die Mutterzahlen
von   bis    
 

Mit dem nebenstehenden Script kann man für die Mutterzahlen in einem vorzugebenden Bereich jeweils alle Töchter berechnen. Auch hier sollte man den Bereich nicht zu groß wählen, denn es wird für jede Mutterzahl eine Ergebniszeile erzeugt. Folgende Ergebnisse sind bemerkenswert:

Stammbaum, Sippe, Ahnherrin

Wenn man den "Mutterzahlen" Töchter zuordnen kann, dann ist es naheliegend, auch nach "Töchtern der Töchter" zu suchen ("Enkelinnen") und auf diese Weise den gesamten "Stammbaum" einer "Sippe" (ausgehend von einer "Ahnherrin") zu berechnen.

Mit dem folgenden Script kann man für eine Ahnherrin den zugehörigen Stammbaum berechnen (man probiere es zum Beispiel mal mit der 2088, der Mutter der Jahreszahlen 2013 und 2014):

Berechnung des Stammbaums einer Sippe
"Ahnherrin":     
 

Ahnenforschung, gemeinsame Vorfahren

Ahnenforschung ist einfacher als der Aufbau eines Stammbaums, weil zu jeder Zahl garantiert genau eine "Mutterzahl" gehört, so dass man alle Vorfahren recht einfach berechnen kann. Es bietet sich an, nach gemeinsamen Vorfahren zweier Zahlen zu suchen.

Mit dem folgenden Script kann man für eine Zahl nach gemeinsamen Vorfahren mit anderen Zahlen aus einem vorzugebenden Beeich suchen. Gesucht wird gegebenenfalls bis zur Grenze, die diesen kleinen Programmen hier gesetzt sind (Zahlen kleiner als 10 000 000 000).

Wenn für ein Zahlenpaar eine gemeinsame Verwandte gefunden wurde, wird für beide Zahlen angegeben, wie viele Generationen zurückliegen, um auf diese Verwandte zu stoßen. Wenn man für die gemeinsame Verwandte mit dem Script oben einen Stammbaum erzeugt, müssen dort irgendwo die beiden Zahlen auftauchen, mit denen nach dieser Verwandten gesucht wurde. Wenn man zum Beispiel für die Zahl 12 nach gemeinsamen Verwandten mit Zahlen im Bereich von 80 bis 90 sucht, findet man nur für die 85 die gemeinsame Verwandte 1079 (13 bzw. 6 Generationen zurück). Mit der 1079 kann man dann einen recht umfangreich ausfallenden Stammbaum erzeugen.

 
Suche nach gemeinsamen Vorfahren

für die Zahl 

mit Zahlen im Bereich von   bis