2013 Die Zahlenspielerei geht weiter
 

Seit 2002 (dem "Palindromjahr") habe ich zu jeder Jahreszahl eine kleine mathematische Betrachtung angestellt (eigentlich ohne jede praktische Anwendung, aber sehr viele Besucher meiner Website fanden sie möglicherweise gerade deshalb interessant). Die Links existieren noch (siehe nebenstehende Liste).

Im vorigen Jahr habe ich begründet, warum ich damit aufhören wollte (der E-Mail-Verkehr im "Collatz-Jahr" war zu heftig geworden), bin dann aber inkonsequent gewesen, weil mir von Karl Hovekamp eine sehr schöne Besonderheit zur 2012 berichtet wurde.

Nun ist genau das wieder passiert, und nun kann ich wieder nicht widerstehen und publiziere hier diese besondere Eigenschaft der 2013, zumal es eine geometrische Eigenschaft ist (und so etwas war bei den zurückliegenden Zahlenspielereien noch nicht dabei).

Nachfolgend findet man eine Kurzfassung dessen, was man auf Karl Hovekamps Seite noch wesentlich ausführlicher findet.

Primzahlzerlegung, pythagoreische Tripel und die Zahl 2013

In der Primzahlzerlegung 2013 = 3·11·61 tauchen die beiden Zahlen 11 und 61 auf, die zusammen mit der Zahl 60 ein so genanntes "pythagoreisches Tripel" bilden: 112 + 602 = 612. Das rechtwinklige Dreieck, das mit diesen drei Seiten gezeichnet werden kann, ist nebenstehend links dargestellt.

Eingezeichnet wurden der rechte Winkel bei C und der Außenwinkel δ bei A (dieser hat mit δ = 100,39° einen recht krummen Wert, der nicht vermuten lässt, dass es bald "ganzzahlig" weiter geht). Nun werden die beiden Winkelhalbierenden (in der rechten Skizze die beiden roten Linien) dieser beiden Winkel gezeichnet, die sich in einem Punkt D schneiden.

Der neue Punkt D wird mit dem Punkt B des rechtwinkligen Dreiecks verbunden, und die Überraschung ist: Das Dreieck ADB hat den Flächeninhalt 2013. Der Wert ist exakt, man kann ihn nachrechnen. Nach etwas mühamer Rechnung erhält man eine Formel für die Dreiecksfläche, die für ein rechtwinkliges Dreieck mit beliebigen Katheten a und b gilt:

Man erkennt, dass diese Formel nur ganzzahlige Werte liefern kann, wenn a und b zu einem pythagoreischen Tripel gehören. Für die Katheten a = 60 und b = 11 liefert die Formel AADB = 2013.

Dieses erstaunliche Ergebnis ist aber nur ein Teil der bemerkenswerten Rolle, die die Zahl 2013 in dieser Konstruktion spielt, die zunächst durch einige weitere Punkte ergänzt wird. Zu den beiden Winkelhalbierenden werden zusätzlich die darauf Senkrechten gezeichnet (in der linken Skizze sieht man nun 4 rote Linien). Es entstehen außerhalb des Dreiecks zwei weitere Schnittpunkte, die in der Skizze ebenfalls rot gekennzeichnet wurden. Von dem roten Punkt D rechts oben werden noch je eine Senkrechte auf die Verlängerungen der beiden Katheten des Dreiecks gezeichnet (die blauen Linien). Es ergeben sich zwei weitere Punkte, die blau eingezeichnet wurden.

Mit all diesen Punkten lässt sich nun die Figur aus mehreren Dreiecken konstruieren, die links zu sehen ist. Darin hat ein Dreieck (das rote) den Flächeninhalt 2013, und jeweils zwei haben in der Summe diesen Flächeninhalt (und zwar exakt!).

Es gibt nur wenige pythagoreische Tripel, die mit einer solchen Konstruktion zu ganzzahligen Flächeninhalten führen, und eine Jahreszahl wird in den nächsten 1000 Jahren nicht dabei sein.

Karl Hovekamp hat eine sehr große Anzahl von Besonderheiten in dieser Konstruktion gefunden und auf der Seite "2013" mit GeoGebra-Konstruktionen dokumentiert. Ein Beispiel für eine Animation für die nebenstehend vorgestellte Konstruktion, bei der die Lage des Punktes A variiert wird, ist die folgende "GeoGebra-Animation nach Karl Hovekamp".