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2014 Zyklopenpalindrom, Lucas-Carmichael-Zahl
 

Seit 2002 (dem "Palindromjahr") habe ich zu jeder Jahreszahl eine kleine mathematische Betrachtung angestellt (eigentlich ohne jede praktische Anwendung, aber sehr viele Besucher meiner Website fanden sie möglicherweise gerade deshalb interessant). Die Links existieren noch (siehe nebenstehende Liste). Nun also die Zahl 2015.

Das Zyklopenpalindrom 2015

Zyklopenzahlen sind (mindestens dreiziffrige) ganze Zahlen mit einer ungeraden Anzahl von Ziffern, die nur genau eine Null enthalten, die genau auf der mittleren Position steht (z. B. 501 oder 23065). Der Name ist von den Gestalten aus der griechischen Mythologie abgeleitet, die nur ein Auge in der Mitte der Stirn hatten.

Zyklopenpalindrome(z. B. 3520253 oder 404) haben darüber hinaus die Eigenschaft, dass man sie "von rechts oder links lesen kann" (zum Begriff "Palindrom" siehe Seite "Palindrom-Jahr 2002", aber 2002 ist nun gerade kein Zyklopenpalindrom).

Diese Aussagen gelten für Zahlensysteme mit beliebiger Basis (Stellenwertsysteme), besonders interessant ist das Dualsystem, das nur zwei Ziffern kennt (0 und 1), in dem zwangsläufig jede Zyklopenzahl auch ein Zyklopenpalindrom ist, weil für die außermittigen Ziffern nur noch die 1 verfügbar ist. Und die Dezimalzahl 2015 sieht im Dualsystem so aus:

2015 (dezimal) = 11111011111 (dual) .

2015 ist also im Dualsystem ein 11-stelliges Zyklopenpalindrom.

Hinweis: Wie man Zahlen in andere Stellenwertsysteme umrechnet, wird auf der oben gennannten Seite erläutert, besonders bequem ist die Umrechnung mit dem Skript auf der Seite "Zahlensysteme (Konvertierung)". Mit diesem Skript ist auch schnell zu berechnen, dass wir das nächste Zyklopenpalindrom im Dualsystem nicht erreichen werden. Dieses hat links und rechts von der 0 eine 1 mehr, und es gilt: 1111110111111 (dual) = 8127 (dezimal).

Auf diese hübsche Eigenschaft der 2015 machte mich Karl Hovekamp (ein Spezialist für Palindromzahlen in beliebigen Zahlensystemen, siehe www.hovekamo.info/) aufmerksam, der selbst auch eine sehr schöne Seite zur "Zyklopenzahl 2015" online gestellt hat.

Lucas-Carmichael-Zahl 2015

Eine quadratfreie (alle Primfaktoren sind unterschiedlich) ungerade natürliche Zahl n heißt Lucas-Carmichael-Zahl, wenn sie mindestens drei Primfaktoren pi besitzt, und für jedes pi gilt: pi+1 ist ein Teiler der Zahl n+1 (siehe zum Beispiel: "Lucas-Carmichael-Zahl"). Die kleinste Zahl, die diese Bedingung erfüllt, ist 399 = 3·7·19, weil die um 1 vergrößerten Primfaktorren 4, 8 und 20 jeweils Teiler der Zahl 400 = 399+1 sind.

Natürliche Zahl (> 1), die zerlegt werden soll:

   

Primfaktorzerlegung:

 

Mit dem nebenstehend zu sehenden kleinen Script kann man eine natürliche Zahl in Primfaktoren zerlegen. Es liefert:

2015 = 5 · 13 · 31 .

2015 ist eine Lucas-Carmichael-Zahl, weil 2016 sowohl durch 6 als auch durch 14 bzw. 32 teilbar ist. Am schnellsten lässt sich das nachweisen, indem man sich mit nebenstehendem Script die Zerlegung von 2016 anzeigen lässt.

2015 ist die einzige Lucas-Carmichael-Zahl, die wir erleben, die nächste Jahreszahl mit dieser Eigenschaft ist die 2915.