Schlechte Kondition, Ursachen, Folgen, Gegenmaßnahmen

Die Genauigkeit der Lösung und die Konvergenzgeschwindigkeit der iterativen Lösungsverfahren eines linearen Gleichungssystems

mit quadratischer Koeffizientenmatrix A hängen wesentlich von den Eigenschaften dieser Matrix ab. Wie man diese Eigenschaften mit einer "Konditionszahl" erfassen kann, welche Auswirkungen eine "schlechte Kondition" hat, welche Ursachen dafür verantwortlich und welche Gegenmaßnahmen möglich sind, wird auf den Seiten "Rundungsfehler, Kondition einer Matrix", "Schlechte Konstruktion <=> schlechte Kondition" und "Skalierung eines linearen Gleichungssystems" behandelt:

• Die begrenzten Möglichkeiten, fehlerhafte Lösungen durch Nachiteration zu verbessern, sollten dazu führen, dem Problem der Kondition einer Matrix schon vor der Lösung des Gleichungssystems die nötige Aufmerksamkeit zu widmen. Am Beispiel demonstriert werden die Auswirkungen schlecht konditionierter Koeffizientenmatrix auf die Genauigkeit der Lösung mit direkten Verfahren und die Folgen einer schlecht konditionierten Koeffizientenmatrix auf die Konvergenz von Iterationsverfahren.
   
• Dass die Eigenschaften der Koeffizientenmatrix in der Regel durch das zu berechnende Problem hervorgerufen werden, wird am Beispiel einer statisch bestimmten Dachkonstruktion demonstriert: Schlechte Konstruktionen führen zu schlecht konditionierten Matrizen.
   
• Die Kondition der Koeffizientenmatrix kann durch geeignete Maßnahmen verbessert werden: Besonders einfach und recht effektiv ist die Skalierung des Gleichungssystems. Am Beispiel demonstriert werden die Auswirkungen der Skalierung auf die Kondition bei der Lösung mit direkten Verfahren und die Konvergenzverbesserung durch Skalierung bei Iterationsverfahren.
   
• Für die Iterationsverfahren, für die in der Regel solche Vorsorgemaßnahmen zwingend sind, wird die Präkonditionierung gesondert behandelt und am Beispiel des präkonditionierten Konjugierte-Gradienten-Verfahren demonstriert. Drei Seiten mit Beispielen findet man zu diesem Thema: "Testrechnungen mit präkonditioniertem KG-Verfahren", "Testrechnungen mit Präkonditionierung mit Matlab" und "Test: Präkonditionierung mit ‘Incomplete Cholesky’".

Singularität, Ursachen, Schwierigkeit des Erkennens

Der Extremfall schlechter Kondition, die Singularität der Koeffizientenmatrix, wird gesondert betrachtet:

• Auch hier gibt es (wie bei schlechter Kondition im Allgemeinen) einen Zusammenhang zwischen dem zu behandelnden Problem und der Singularität der Matrix im mathematischen Modell des physikalischen Objekts. Welche Ursachen z. B. bei der Formulierung der Gleichgewichtsbedingungen für Tragkonstruktionen zu singulären Matrizen führen kann, wird an mehreren Beispiel dargestellt.
   
• Das Erkennen der Singularität der Koeffizientenmatrix ist eine wichtige Eigenschaft aller Lösungsverfahren (es ist durchaus sinnvoll, wenn ein Ingenieur mit dem Test des mathematischen Modells seiner Konstruktion deren Funktionsfähigkeit nachweist bzw. ausschließt). Dass das Erkennen der Singularität bei der Computerrechnung ein schwieriges Problem ist, wird schon mit ganz einfachen Beispielen demonstriert. Speziell wird zusätzlich gezeigt, dass Matlab bei Berechnung mit direkten Verfahren durchaus auch Fehler macht und dass Iterationsverfahren bei singulären Matrizen natürlich nicht konvergieren (das ist korrekt), aber die eigentliche Ursache in der Regel nicht erkennen.

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