Beispiel
Kugelstoßen: Für die Bestimmung der Flugbahn der Kugel steht aus Videoaufnahmen folgende Messreihe zur Verfügung:
xi[m]
|
0
|
4
|
8
|
12
|
16
|
20
|
yi[m]
|
2,00
|
4,93
|
6,38
|
6,37
|
4,88
|
1,91
|
|
Bei Vernachlässigung des Luftwiderstands darf angenommen werden, dass die Kugel sich auf einer quadratischen Parabel bewegt, die durch folgende Gleichung beschrieben werden kann:
y = a0 + a1x + a2x2 .
Wenn nur drei Punkte verfügbar wären, dann könnten die drei Parameter a0, a1 und a2 eindeutig bestimmt werden. Hier soll die Parabel bestimmt werden, die sich den sechs Punkte im oben genannten Sinn am besten annähert. Einsetzen der Punktkoordinaten in die Parabelgleichung führt auf folgende 6 Gleichungen:
Es ist ein Gleichungssystem mit 6 Gleichungen für die Bestimmung der 3 Unbekannten a0, a1 und a2. Die Lösung kann im Allgemeinen nicht alle 6 Gleichungen erfüllen, in jeder Gleichung wird sich eine Abweichung
ergeben. Die Lösung des überbestimmten Gleichungssystems wird nun so bestimmt, dass die Summe der Quadrate dieser Abweichungen minimal wird:
Als Minimalbedingungen werden die partiellen Ableitungen nach a0, a1 und a2 gleich Null gesetzt:
Diese so genannten "Normalgleichungen" für die Bestimmung von a0, a1 und a2 bilden folgendes Gleichungssystem:
Das Gleichungssystem hat eine symmetrische (positiv definite) Koeffizientenmatrix. Die Grenzen an den Summenzeichen wurden absichtlich weggelassen, um anzudeuten, dass diese Gleichungen für eine beliebige Zahl von Stützpunkten n gelten (im betrachteten Beispiel ist n =6).
Das nachstehend zu sehende Matlab-Script realisiert diese Rechnung für das betrachtete Beispiel. In das Command Window werden die drei Werte a0, a1 und a2 ausgegeben, die die Ausgleichsparabel definieren, in ein Graphik-Window wird die Parabel gezeichnet:
|