Skalierung bei symmetrischer Koeffizientenmatrix
Bei linearen Gleichungssystemen mit symmetrischer (positiv definiter) Koeffizientenmatrix, wie sie für die Finite-Elemente-Methode typisch sind, sollte bei der Skalierung unbedingt die Symmetrie erhalten bleiben. Multiplikation der Koeffizientenmatrix sowohl von links als auch von rechts mit einer Diagonalmatrix D garantiert das Erhalten der Symmetrie:
Um das Gleichungssystem nicht zu verfälschen, muss die Rechtsmultiplikation der Matrix A mit der Diagonalmatrix D durch die zusätzliche Multiplikation mit der Inversen der Diagonalmatrix kompensiert werden. Diese wird mit dem Vektor der Unbekannten x zu einem neuen Vektor
zusammengefasst. Es wird das Gleichungssystem
nach y aufgelöst. Schließlich ergibt sich der gesuchte Lösungsvektor des Originalsystems aus
Vorab muss natürlich die Diagonalmatrix D auf geeignete Weise festgelegt werden. Man kann z. B. die reziproken Werte der Quadratwurzeln der Diagonalelemente von A verwenden. In diesem Fall skaliert man die Matrix A so, dass durch die Rechts- und Linksmultiplikation mit D auf der Hauptdiagonalen nur Einsen stehen.
Auf diesen etwas umständlichen Prozess kann im Allgemeinen bei Verwendung von Eliminationsverfahren verzichtet werden, weil die symmetrischen und positiv definiten Koeffizientenmatrizen, wie sie z. B. bei der Finite-Elemente-Methode entstehen, mit dem Cholesky-Verfahren numerisch sehr stabil gelöst werden können und bei schlecht konditionierten Matrizen in diesen Fällen die Skalierung keine nennenswerte Verbesserung bringt.
Diese Aussage gilt nicht bei der Lösung des Gleichungssystems mit iterativen Verfahren (z. B. mit der Methode der konjugierten Gradienten), die in vielen Fällen nur bei Präkonditionierung erfolgreich arbeiten. Die hier vorgestellte Skalierung ist ein zwar einfaches, vielfach jedoch ausreichendes Verfahren dafür. Dies wird auf der Seite "Beispiel: Skalierung einer symmetrischen Matrix" demonstriert.
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