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Anhang B: Doppelpendel (Erweiterung des Beispiels 1 auf Seiten 634/635), Lösung mit MATLAB:
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Die Bewegung eines Doppelpendels wird mit einem nichtlinearen Diffenzialgleichungssystem 2. Ordnung beschrieben. Die Differenzialgleichungen sind in den Beschleunigungsgliedern gekoppelt.
Die MATLAB-Solver können Differenzialgleichungssysteme 1. Ordnung lösen. Deshalb wird durch Einführen der neuen Variablen
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aus den beiden Differenzialgleichungen 2. Ordnung ein System von 4 Differenzialgleichungen 1. Ordnung, von denen zwei in den Ableitungen gekoppelt sind. Das Differenzialgleichungssystem kann z. B.
so formuliert werden:
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mit
Den MATLAB-Solvern kann ein in den Ableitungen gekoppeltes System in der impliziten Form
M (t , y) y’ = f (t , y)
angeboten werden, das oben angegebene Differenzialgleichungssystem also z. B. so:
Der nachfolgende Bildschirm-Schnappschuss zeigt die Funktion “DoppelPendel”, die das Anfangswertproblem realisiert:
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- Zu Zeilen 1 bis 7: Die Funktion “DoppelPendel” kann aufgerufen werden mit Angabe der Anfangsauslenkungen der beiden Stäbe oder ohne Parameter. Im letztgenannten Falle
werden Default-Werte (Zeile 6) verwendet.
- Zu Zeile 16: Mit der Option ‘Mass’ wird angekündigt, dass eine Massenmatrix zu berücksichtigen ist, der folgende Parameter gibt den Namen der dafür bereitgestellten
Funktion an. Die Option ‘MaxStep’ ist zwingend, um über ein Zeitintervall von 10 Sekunden ausreichend genaue Ergebnisse zu erzielen (vgl. z. B. die Bemerkungen zur MATLAB-Berechnung der Aufgabe von Seite 500 und die Rechnung weiter unten).
Starten mit Debug|Run oder durch Aufruf ohne Parameter aus dem “Command Window” verwendet die Default-Anfangswerte und liefert die folgende graphische Ausgabe (hier findet man die Modifikation der MATLAB-Funktion
Doppelpendel, die statt der Funktionen eine Animation der Bewegung ausgibt):
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Auch in MATLAB gilt für die numerische Integration von Anfangswertproblemen, dass Kontrollrechnungen unabdingbar sind. Mit den Standard-Einstellungen kann die gewünschte
Genauigkeit in diesem Fall nicht erreicht werden (auch die recht einfache Aufgabe auf
Seite 501 ist dafür ein markantes Beispiel).
Wenn in Zeile 16 entsprechend
die MaxStep-Option weggelassen wird (und damit die Standardeinstellung von MATLAB gilt), hat das Ergebnis (nachfolgender
Bildschirm-Schnappschuss) schon nach 3 Sekunden nichts mehr mit dem korrekten Ergebnis zu tun:
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Die oben gelistete M-Datei ist als Doppelpendel.m
zum Download verfügbar.
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nkert.de
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