Ein Beispiel
Für den skizzierten biege- und dehnsteifen Rahmen mit konstanten Querschnitten in allen Bereichen sollen die 5 kleinsten Eigenkreisfrequenzen und die zugehörigen Schwingungsformen ermittelt werden.
Gegeben: EI = 3,5·106 Nm2 ; EA = 2,9·109 N ; ρA = 100 kg/m ; a = 2 m .
Das Finite-Elemente-Berechnungsmodell führt auf ein Allgemeines Matrizeneigenwertproblem
mit symmetrischen dünn besetzten Matrizen K und M. Das nachfolgend zu sehende Matlab-Script baut diese beiden Matrizen in den Zeilen 3 bis 7 mit dem Finite-Elemente-Baukasten Femset auf (für Interessenten: MatlabFemset). In Zeile 8 werden sie in das von Matlab unterstützte "Sparse matrix"-Format konvertiert (es sind Matrizen mit 18 Zeilen bzw. Spalten).
Das Matrizeneigenwertproblem wird mit der Function eigs in Zeile 10 gelöst. Der Parameter auf Position 3 gibt die Anzahl der gewünschten Eigenwerte an, der Parameter 'sa' auf der Position 4 bestimmt, dass es die kleinsten Eigenwerte sein sollen (Angaben sind erforderlich, weil standardmäßig die 6 größten Eigenwerte berechnet werden).
Die Eigenvektoren werden spaltenweise in einer Matrix Z abgeliefert, die Eigenwerte als Diagonalelemente in einer Diagonalmatrix. Die Eigenkreisfrequenzen und die zugehörigen Eigenvektoren werden in das Command Window ausgegeben, die ersten drei Eigenvektoren zusätzlich als Eigenschwingungsformen in einem Graphik-Fenster gezeichnet:
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