Überführung des Allgemeinen Matrizeneigenwertproblems in das Spezielle Matrizeneigenwertproblem
Das Allgemeine Matrizeneigenwertproblem
kann, wenn B regulär ist, durch Linksmultiplikation mit B-1 auf ein Spezielles Matrizeneigenwertproblem zurückgeführt werden:
Ist B singulär, kann bei regulärer Matrix A durch Linksmultiplikation mit A-1 auf das Spezielle Matrizeneigenwertproblem
übergegangen werden, das die reziproken Eigenwerte (bei gleichen Eigenvektoren) liefert (dabei wurde die Tatsache genutzt, dass die Inverse einer Matrix die reziproken Eigenwerte der Ausgangsmatrix hat).
Wenn A und B symmetrische Matrizen sind, ist die genannte Vorgehensweise nicht empfehlenswert, da bei der Multiplikation (nicht bei der Inversion) die Symmetrie verlorengeht. Ist die symmetrische Matrix B auch noch positiv definit, so kann sie nach Cholesky entsprechend
in das Produkt zweier Dreiecksmatrizen zerlegt werden. Aus
wird nach Linksmultiplikation mit der Inversen der transponierten Rechtsdreiecksmatrix und Ausklammern von R nach rechts:
Das so entstandene Matrizeneigenwertproblem
mit der Matrix
auf die sich die Symmetrieeigenschaft von A überträgt, hat die gleichen Eigenwerte wie das ursprüngliche Problem. Die Eigenvektoren x* werden gemäß
rücktransformiert. Während die Symmetrie des Matrizeneigenwertproblems in diesem Fall erhalten bleibt, geht eine eventuell vorhandene Bandstruktur der Matrix A verloren. Deshalb werden für das allgemeine Matrizeneigenwertproblem mit symmetrischen Bandmatrizen Verfahren bevorzugt, die ohne vorherige Transformation auf ein spezielles Matrizeneigenwertproblem auskommen (siehe z. B.: "Vektoriteration für das Allgemeine Eigenwertproblem").
Besonders einfach wird die Transformation, wenn B eine Diagonalmatrix ist (typischer Fall für Eigenschwingungsprobleme mit diskreten Massen). Dann wird auch R-1 eine Diagonalmatrix D mit den Elementen
und die Transformation würde in diesem Fall auch eine Bandstruktur der Matrix A nicht zerstören.
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