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Statik, Festigkeitslehre, Kinematik/Kinetik, 4. Auflage

“Singuläre Matrix”, was ist die Ursache?

Erfolg oder Misserfolg von Berechnungen in der Technischen Mechanik entscheiden sich bei vielen Problemen mit der Lösung eines linearen Gleichungssystems. Die Meldung für den Misserfolg lautet i. a. “Koeffizientenmatrix ist singulär” (bei der Finite-Elemente-Methode mit den in der Regel symmetrischen Koeffizientenmatrizen lautet die Misserfolgs-Meldung  häufig “Matrix ist nicht positiv definit”, aus der Sicht der Mathematik eine ganz andere Aussage, aus der Sicht der Mechanik aber meist durch vergleichbare Fehler verursacht).

Mit “Koeffizientenmatrix” ist die quadratische Matrix A des linearen Gleichungssystem  A x = b gemeint, und “singulär” bedeutet, dass ihre Determinante  det (A) den Wert 0 hat. In diesem Fall ist das Gleichungssystems nicht nach x auflösbar, Beispiel:

Eine Determinante hat immer dann den Wert 0, wenn eine lineare Abhängigkeit zwischen den Zeilen oder Spalten besteht, was in der Regel nicht leicht zu erkennen ist (um dies zu überprüfen, ist i. a. exakt der Aufwand zu betreiben, der bei dem Versuch der Lösung des Gleichungssystems zu der Aussage “Matrix ist singulär” führt). Im angegebenen Beispiel ist das Dreifache der ersten Zeile, addiert zum Vierfachen der zweiten Zeile gleich dem Doppelten der dritten Zeile.

Aber die Frage, wie der Algorithmus zur Lösung des Gleichungssystems die Singularität der Matrix (und damit die Unlösbarkeit des Gleichungssystems) erkennt, ist für die Lösung des Mechanik-Problems unerheblich. Es gilt, die möglichen Ursachen zu beseitigen, die sich in zwei große Kategorien einteilen lassen:

  1. Das zu berechnende System ist nicht korrekt,
  2. Für ein korrektes System wurde ein inkorrektes Gleichungssystem formuliert.

Beispiele zu 1.) Es wird versucht, ein nicht ausreichend gelagertes oder innerlich nicht als tragfähig konstruiertes System zu berechnen:

Statisch untaugliches Fachwerk (es fehlen Stäbe),
 hier Fachwerk 4 aus Aufgabe 6.6 von Seite 80 ohne
 Stab 14
Momentengleichgewicht um A nicht
erfüllbar (Beispiel 5 auf Seite 47)
Statisch unterbestimmtes System  
(Beispiel 3 auf Seite 46)
Drei einwertige Lager, aber
Horizontalverschiebung nicht
behindert (Beispiel 4 auf Seite 47)

Gemeinsames Merkmal nicht tragfähiger Strukturen ist in der Regel die Möglichkeit der “Starrköperbewegung”: Das System oder ein Teil des Systems können sich bewegen, ohne dass sich die Teile verformen müssen.

Die Möglichkeit der Starrkörperbewegung zu erkennen, ist nicht immer so einfach wie bei Beispiel 4 auf Seite 47 oder Beispiel 3 auf Seite 46. Beim Beispiel 5 auf Seite 47 ist nur eine “unendliche kleine Starrkörperbewegung” möglich. Bei Fachwerken sollte unbedingt die “Notwendige Bedingung für die statische Bestimmtheit” (Seite 71) überprüft werden.

Beispiele zu 2.) Es werden korrekte Gleichungen formuliert (der durchaus häufige Fall, dass die Gleichungen falsch sind, soll hier gar nicht betrachtet werden), es wird aber ein falscher Satz von Gleichungen für das Gleichungssystem verwendet:

Einfacher Gerber-Träger
(Beispiel 2 auf Seite 55), 
System (oben) und
Schnittskizze mit zwei
Teilsystemen (unten)

Für das nebenstehend skizzierte System können am Gesamtsystem (nur die drei Lager A, B und C werden weggeschnitten und durch 4 Lagerkraftkomponenten ersetzt) und an an den Teilsystemen I und II beliebig viele Gleichgewichtsbedingungen formuliert werden, von denen 6 für die Berechnung der 6 Unbekannten benötigt werden.

Von den verschiedenen Möglichkeiten, einen untauglichen Satz von Gleichgewichtsbedingungen auszuwählen, soll hier nur eine genannt werden:

Wenn nicht die Horizontalkraft-Gleichgewichtsbedingungen genau an zwei Systemen fomuliert werden (Gesamtsystem und System I oder Gesamtsystem und System II oder System I und System II), wird die Koeffizientenmatrix des Gleichungssystems singulär (wird hier als Aufgabe formuliert ).

Beispiel 2 auf Seite 61 ...

Für die nebenstehend zu sehende Zange (Beispiel 2 von Seite 61) ist das äußere Gleichgewicht schon per Aufgabenstellung erfüllt.

Die darunter dargestellten Schnittskizzen als Vorbereitung für die Computerrechnung (Beispiel 4 auf Seite 68) legen das Aufschreiben von 12 Gleichgewichtsbedingungen nahe (3 je Teilsystem), denen aber nur 9 Unbekannte gegenüberstehen. Welche Gleichgewichtsbedingungen nicht verwendet werden, ist nicht ganz einfach zu entscheiden (auf Seite 69 wird gezeigt, dass bei einem kompletten Verzicht auf die Bedingungen am Teilsystem III ein lösbares Gleichungssystem entsteht).

In diesem Fall ist man sehr gut beraten, dem Hinweis auf Seite 69 unten (Aufstocken auf 12 Unbekannte mit sogar noch zusätzlicher Kontrollmöglichkeit) zu folgen.

... und die Schnittskizze zur   
Vorbereitung der   
Computerrechnung   
(Seite 68)

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