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Anhang B: Laufkatze (Erweiterung des Beispiels 2 auf Seite 630), Lösung mit CAMMPUS
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Die Bewegung einer Laufkatze mit angehängter Last wird durch ein nichtlineares Diffenzialgleichungssystem 2. Ordnung beschrieben. Die Differenzialgleichungen sind in den Beschleunigungsgliedern gekoppelt.
Mit dem CAMMPUS-Programm “Taschenrechner” können Differenzialgleichungssysteme 1. Ordnung gelöst werden. Deshalb wird durch Einführen der neuen Variablen
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aus den beiden Differenzialgleichungen 2. Ordnung ein System von 4 Differenzialgleichungen 1. Ordnung, von denen zwei in den Ableitungen gekoppelt sind. Das Differenzialgleichungssystem kann z. B.
so formuliert werden:
mit
Die ai j und bi werden als Funktionen definiert, so dass die beiden in den Ableitungen gekoppelten
Differenzialgleichungen entkoppelt werden können, wenn man das Gleichungssystem, das sie darstellen, z. B. nach der Cramerschen Regel auflöst:
Damit ist ein Satz von Funktionen gegeben, der dem Programm MCALCU angeboten werden kann. |
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Der nachfolgende Bildschirm-Schnappschuss zeigt rechts oben die Parameter der Aufgabenstellung, links oben den Satz von Funkionen, der das Differenzialgleichungssystem
definiert, in den vier unteren Fenstern sind die berechneten Bewegungsgesetze für Laufkatze und Last zu sehen.
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Es lohnt sich, den Bewegungsverlauf für die Laufkatze etwas genauer zu analysieren. Vor dem ziemlich glatten Rücklauf gibt es fünf Mal eine Umkehr der Bewegungsrichtungen.
Der nachfolgende Zoom verdeutlicht dies.
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Nach dem Abschalten der Antriebskraft gibt es vor dem Erreichen der Feder schon eine erste Umkehr der Bewegungsrichtung, nach einer nochmaligen Umkehr kommt es aber doch zum
(ersten) Anschlag an die Feder.
Es gibt aber schließlich noch eine weitere Bewegungsumkehr (ohne äußere Krafteinwirkung), so dass es zu einem zweiten Anschlag an die Feder kommt. Danach beginnt die
Laufkatze einen relativ gleichmäßig ablaufenden Rückweg.
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Zur Schrittweitenwahl bei der numerischen Integration, Berechnung von Kontrollfunktionen:
Dieses Beispiel mit relativ bizarren Bewegungsgesetzen zwingt zum Experiment mit der Schrittweite der numerischen Integration und legt die Berchnung von Kontrollfunktionen
nahe. Auf Seite 698 wird empfohlen, die kinetische Energie des Systems entsprechend
mit der Geschwindigkeit des Schwerpunkts der angehängten Last
und die Gesamtenergie
als Kontrollfunktionen zu berechnen.
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Überraschenderweise liefert eine Rechnung mit der CAMMPUS-Standardeinstellung (500 Integrationsschritte) bereits sehr gut Ergebnisse, eine Rechnung mit 2000
Integrationsschritten ist praktisch exakt.
Die Berechnung der Kontrollfunktionen bestätigt dies: Im nebenstehenden Bildschirm-Schnappschuss sind (für die Rechnung mit 2000 Integrationsschritten) links die beiden
Bewegungsgesetze (für Laufkatze bzw. für die angehängte Last) zu sehen, rechts sieht man den Verlauf der kinetischen Energie (oben) und die Funktion für die Gesamtenergie (unten).
Auch die vergrößerte Darstellung der Energieverläufe im folgenden Bildschirm-Schnappschuss bestätigt die Erwartungen:
- Die kinetische Energie hat zwei deutliche “Zacken” während des Kontakts der Laufkatze mit der Feder (im Umkehrpunkt der Bewegung steckt nur in der
angehängten Last kinetische Energie).
- Während des “Rückwegs” wird periodisch stets nur ein kleiner Teil der kinetischen Energie vorübergehend in potentielle Energie umgesetzt, weil sich der
Schwerpunkt der schwingenden angehängten Last hebt und senkt.
- Die Gesamtenergie ist nach dem Abschalten der Antriebskraft konstant, nur während des Kontakts mit der Feder wird Energie auf diese übertragen, die danach
zurückgewonnen wird.
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Dateien für dieses Beispiel, die zum Download verfügbar sind:
- Konstanten des Berechnungsmodells als Laufkatz.con,
- Funktionen (Differenzialgleichungen und die beiden Energiefunktionen) als Laufkatz.fcn.
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Homepage
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