|
Stillstand ist eine kritische Bewegungssituation
 Die Masse in der nebenstehend skizzierten Aufgabe bewegt sich nur im Bereich x > a auf einer Unterlage, die einen Reibungswiderstand verursacht, ansonsten reibungsfrei. Sie wird mit einer Anfangsauslenkung xanf > a freigelassen und führt danach eine Schwingung aus, deren Amplitude sich ständig verringert. Wenn sie schließlich den Bereich x > a nicht mehr erreicht, schwingt sie mit konstanter Amplitude weiter.
Bei der Formulierung der Differenzialgleichungen muss beachtet werden, dass die auf die Masse wirkende Reibkraft nur im Bereich x > a wirkt und dort ihre Richtung umkehrt, wenn sich die Bewegungsrichtung der Masse umkehrt. Dabei können folgende Situationen eintreten:
- Bei Bewegung der Masse nach rechts wirken Federkraft und Reibkraft bremsend, so dass die Masse schließlich zum Stillstand kommt. Dann wird durch die gespannte Feder die Bewegung nach links eingeleitet, die Reibkraft kehrt ihre Richtung um und wirkt wieder bremsend. Bedingung für die Fortsetzung der Bewegung ist natürlich, dass die Federkraft größer ist als die Reibkraft.
- Wenn nach dem Stillstand die nach rechts gerichtete Reibkraft größer ist als die nach links gerichtete Federkraft, versucht das System, die Bewegung nach rechts fortzusetzen. Weil aber bei Bewegung nach rechts sofort die Reibkraft wieder ihre Richtung wechselt (und also wieder nach links gerichtet ist), stoppt auch diese Bewegung sofort, und das Spiel beginnt von vorn.
Wie reagieren numerische Integrationsverfahren auf eine solche Situation?
 Ein Algorithmus mit fester Schrittweite (und damit festgelegter Anzahl von Integrationsschritten) spielt bis zum Ende des Integrationsintervall genau das beschriebene Spiel mit den ständig wechselnden Richtungen. Bei genügend kleiner Schrittweite sieht die graphische Darstellung der Bewegungsgrößen dann tatsächlich wie Stillstand aus, nachdem die beschriebene Situation eingetreten ist.
In der nebenstehenden Graphik sieht man die Bewegungsgesetze für einen solchen Fall, bei dem nach dem zweiten Wiedereintritt der Masse in den Reibungsbereich die Reibungskraft so groß ist, dass die Federkraft sie nicht mehr überwinden kann: Die Masse bleibt in Ruhe an der erreichten Stelle, die Geschwindigkeit ist ab diesem Zeitpunkt gleich Null. Berechnet wurden diese Diagramme mit einem Runge-Kutta-Verfahren 4. Ordnung mit konstanter Schrittweite, das im Teil 1 des Skripts "Numerische Integration von Anfangswertproblemen" beschrieben wird und zum Download verfügbar ist.
Ein scharfer Zoom in das Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm (Bild darunter) zeigt, dass es tatsächlich keine saubere Ruhelage ist, sondern eher ein "Wackeln auf der Stelle", was die oben angestellten Überlegungen bestätigt. Aber im Rahmen der von einem numerischen Verfahren zu erwartenden Genauigkeit könnte man mit dieser Situation durchaus zufrieden sein.
- Ganz anders ist die Situation mit Verfahren, die mit automatisch veränderlicher Schrittweite arbeiten: Die Matlab-ode-Functions nehmen jede dieser ständigen "Umkehrsituationen" zum Anlass, die Schrittweite zu verkleinern, was natürlich nur zu "Wackeln auf immer engerem Raum" führt. Für den Anwender sieht das so aus, a
 ls wäre die Rechnung in eine Endlos-Schleife geraten, und es bleibt ihm in der Regel nichts anderes übrig, als die Rechnung abzubrechen (und er bekommt dann nicht einmal die bis dahin ermittelten Ergebnisse zu sehen, wenn er nicht die Geduld hat, bei diesem Beispiel mehrere Stunden zu warten, bis ihm ode45 tatsächlich mehr als 3 000 000 Ergebnisse für den Zeitbereich von 5 s liefert).
Diese kritische Situation sollte man also mit den Matlab-ode-Functions nicht eintreten lassen. Diese bieten allerdings mit der nachfolgend beschriebenen "Event-Strategie" eine saubere Lösung an.
|
