Aufg. 19-10, Diff.-Verf.

Gegeben:    

      a = 500 mm ; b = 700 mm ; q = 10 N/mm ; M = 800 Nm ;
      EI1 = 6 · 109 Nmm2 ; EI2 = 8 · 1010 Nmm2 ; c = 800 N/mm ; k = 12 N/mm2 .

Man berechne die Biegelinie, den Biegemomenten- und den Querkraftverlauf, gebe speziell die Werte für die Durchbiegungen an der Feder, die Federkraft und die Biegemomente an der Einspannstelle und an der Feder an und stelle die drei Verläufe graphisch dar

  1. auf der Basis der Differenzialgleichung der Biegelinien (“exakt” entsprechend der Theorie des geraden Biegeträgers) unter Vernachlässigung der Bettung (k = 0 ),
     
  2. auf der Basis der Differenzialgleichungen der Biegelinien (“exakt” entsprechend der Theorien des geraden Biegeträgers und des geraden elastisch gebetteten Trägers) bei Berücksichtigung der Bettung
     
  3. und bestätige beide Rechnungen näherungsweise mit Hilfe des Differenzenverfahrens.
     

Lösung der Aufgabenstellung c:

Weil mit dem Differenzenverfahren die Differenzialgleichung genähert wird, kann im Gegensatz zu den Lösungen der Aufgabenstellungen a und b die Näherungsrechnung entsprechend Aufgabenstellung c für beide Fälle mit einem MATLAB-Script realisiert werden, in dem jeweils der entsprechende Wert für die Bettungsziffer k eingesetzt wird.

Das nachfolgend gelistete MATLAB-Script verwendet deshalb auf der Basis des Muster-Scripts zur Aufgabe 19-3 durchgängig die Formeln für den elastisch gebetteten Träger. “Bettung” bzw. “Nicht-Bettung” (und auch die Feder) werden durch die entsprechenden Werte für die Bettungsziffer im Vektor ki realisiert:

% Differenzenverfahren (Aufgabe 19-10):

clear all

a  = 500  ;
b  = 700  ;
EI1 = 6e9  ;
EI2 = 8e10 ;
M  = 800000 ;
c  = 800  ;
q  = 10   ;
k  = 12   ;

L  = a+b   ;          % Laenge
EIB = EI1  ;          % Bezugs-Biegesteifigkeit
nA = 2400  ;          % Anzahl der Abschnitte
n  = nA + 5 ;          % Anzahl der Gleichungen
h  = L / nA ;          % Schrittweite

A  = zeros (n,7) ;     % Rechteckmatrix fuer Aufnahme der Bandmatrix
b  = zeros (n,1) ;     % Nullvektor ("rechte Seite")
qi = zeros (n,1) ;     % Linienlastintensitaeten an Stuetzpunkten
mi = zeros (n,1) ;     % EIi = mi * EIB
ki = zeros (n,1) ;     % Bettungszahlen an Stuetzpunkten

% Markante Punkte:
iFeder = round (nA*a/L+ 3.1) ;
iLager = n - 2 ;

% Belastung
qi(iFeder:iLager) = 0 : q/(iLager-iFeder) : q ;

% Biegesteifigkeit (mue-Werte):
mi(1:iFeder-1) = EI1/EIB ;
mi(iFeder)     = (EI1+EI2)/(2*EIB) ;
mi(iFeder+1:n) = EI2/EIB ;

% Bettungszahl (ki-Werte):
ki(1:iFeder-1) = k   ;
ki(iFeder)     = k/2 + c/h ;
ki(iFeder+1:n) = 0   ;

%Randbedingungen:
A(1:2,:)   = [0 0 0  0 0 1 0 ;
             0 0 0 -1 0 1 0] ;                                        % Einspannung links
A(n-1:n,:) = [   0            0           1     0 0 0 0  ;
             mi(iLager) -2*mi(iLager) mi(iLager) 0 0 0 0] ;    
b(n) = -M*h^2/EIB ;                                                    % Lager und Moment rechts

for i = 3:n-2    % Matrix A:                        
   A(i,:)= [0 mi(i-1) -2*(mi(i-1)+mi(i)) mi(i-1)+4*mi(i)+mi(i+1)+ki(i)*h^4/EIB -2*(mi(i)+mi(i+1)) mi(i+1) 0] ; 
   b(i) = qi(i)*h^4/(EIB) ;                                           % Standardgleichungen
end

t1 = cputime ;
v = gabamp (A , b) ;                                                   % Berechnung der Durchsenkung
ZeitGlSyst = cputime - t1

clf;
z = 0 : h : L ;
subplot (3,1,1) ; plot (z , v(3:n-2)) , axis ij , grid on ,
                       title ('Durchbiegung')                         % Graphische Ausgabe der Biegelinie

for i=3:n-2                     
   Mb(i) = -mi(i)*EIB * (v(i-1)-2*v(i)+v(i+1))/h^2 ;                  % Biegemoment
   FQ(i) = 0.5*EIB * (mi(i-1)*v(i-2)-2*mi(i-1)*v(i-1)+(mi(i-1)-mi(i+1)) ...
                       *v(i)+2*mi(i+1)*v(i+1)-mi(i+1)*v(i+2))/h^3 ;   % Querkraft
end
  
subplot (3,1,2) ; plot (z , Mb(3:n-2)) , grid on , title ('Biegemoment')
subplot (3,1,3) ; plot (z , FQ(3:n-2)) , grid on , title ('Querkraft')  
  
vFeder     = v(iFeder)         % Ausgabe in das Command window
MbLinks    = Mb(3)
MbFeder    = Mb(iFeder)
Mbmax      = max(abs(Mb))
FQLinks    = FQ(3)
Federkraft = c*v(iFeder)

Das gelistete Script enthält den k-Wert für den Fall, dass der linke Abschnitt des Trägers elastisch gebettet ist (Näherung der Lösung der Aufgabenstellung b). Nur diese (farblich hervorgehobene) Zeile muss geändert werden, um die Näherung der Aufgabenstellung a zu berechnen.

Nachfolgend sind zunächst die graphischen Darstellungen und die besonderen Werte im Command Window für den Fall ohne elastische Bettung  zu sehen (k = 0 ). Der Vergleich mit der “exakten” Lösung zeigt eine ausgezeichnete Übereinstimmung:

Auch für den Fall mit elastischer Bettung im linken Trägerabschnitt (k = 12 N/mm2) weichen die Ergebnisse nicht nennenswert von der “exakten” Lösung ab:

Die oben gelistete M-Datei ist als Aufg19_10Diff.m zum Download verfügbar.

Zur Übersicht der Aufgaben zur Festigkeitslehre

www.D@nkert.de

D

 

nkert.de

TM1-Aufgaben TM2-Aufgaben
TM3-Aufgaben TM3-Aufgaben