Aufg. 18-14, Diff.-Verf.

Aufgabe 18-14, Lösung mit dem Differenzenverfahren mit MATLAB

Das nachfolgend gelistete Script entspricht den Muster-Scripts, die für die Aufgaben 19-3 bzw. 19-10 verfügbar sind:

% Differenzenverfahren (Aufgabe 18-14):

clear all

l  = 1 ;
EI1 = 1 ;
EI2 = 2 ;
EI3 = 1 ;
F  = 1 ;
q1 = 2 ;
q2 = 1 ;

L  = 3*l   ;          % Gesamtlaenge
EIB = EI1  ;          % Bezugs-Biegesteifigkeit
nA = 3000  ;          % Anzahl der Abschnitte
n  = nA + 5 ;          % Anzahl der Gleichungen
h  = L / nA ;          % Schrittweite

A  = zeros (n,7) ;     % Rechteckmatrix fuer Aufnahme der Bandmatrix
b  = zeros (n,1) ;     % Nullvektor ("rechte Seite")
qi = zeros (n,1) ;     % Linienlastintensitaeten an Stuetzpunkten
mi = zeros (n,1) ;     % EIi = mi * EIB
ki = zeros (n,1) ;     % Bettungszahlen an Stuetzpunkten

% Markante Punkte:
iF = round (nA*l/L  +3.1) ;
iq1 = round (nA*2*l/L+3.1) ;
iq2 = n - 2 ;

% Belastung
qi(iF)     = F/h ;
qi(iq1:iq2) = q1 : (q2-q1)/(iq2-iq1) : q2 ;
qi(iq1)    = q1/2 ;

% Biegesteifigkeit (mue-Werte):
mi(1:iF-1)     = EI1/EIB ;
mi(iF)         = (EI1+EI2)/(2*EIB) ;
mi(iF+1:iq1-1) = EI2/EIB ;
mi(iq1)        = (EI2+EI3)/(2*EIB) ;
mi(iq1+1:n)    = EI3/EIB ;

%Randbedingungen:
A(1:2,:)   = [0 0 0  0 0 1 0 ;
             0 0 0 -1 0 1 0] ;                                        % Einspannung links
A(n-1:n,:) = [   0            0           1     0 0 0 0  ;
             mi(iq2) -2*mi(iq2) mi(iq2) 0 0 0 0] ;   

for i = 3:n-2    % Matrix A:                        
   A(i,:)= [0 mi(i-1) -2*(mi(i-1)+mi(i)) mi(i-1)+4*mi(i)+mi(i+1)+ki(i)*h^4/EIB -2*(mi(i)+mi(i+1)) mi(i+1) 0] ; 
   b(i) = qi(i)*h^4/(EIB) ;                                           % Standardgleichungen
end

t1 = cputime ;
v = gabamp (A , b) ;                                                   % Berechnung der Durchsenkung
ZeitGlSyst = cputime - t1

clf;
z = 0 : h : L ;
subplot (3,1,1) ; plot (z , v(3:n-2)) , axis ij , grid on ,
                       title ('Durchbiegung')                         % Graphische Ausgabe der Biegelinie

for i=3:n-2                     
   Mb(i) = -mi(i)*EIB * (v(i-1)-2*v(i)+v(i+1))/h^2 ;                  % Biegemoment
   FQ(i) = 0.5*EIB * (mi(i-1)*v(i-2)-2*mi(i-1)*v(i-1)+(mi(i-1)-mi(i+1)) ...
                       *v(i)+2*mi(i+1)*v(i+1)-mi(i+1)*v(i+2))/h^3 ;   % Querkraft
end
  
subplot (3,1,2) ; plot (z , Mb(3:n-2)) , grid on , title ('Biegemoment')
subplot (3,1,3) ; plot (z , FQ(3:n-2)) , grid on , title ('Querkraft')  
  
format long
vF     = v(iF)          % Ausgabe in das Command window
vq1    = v(iq1)
MbLinks = Mb(3)
MbF    = Mb(iF)
Mbq1   = Mb(iq1)

Nachfolgend sind zunächst die graphischen Darstellungen von Durchbiegung, Biegemoment und Querkraft zu sehen und die besonderen Werte die besonderen Werte für Durchbiegung und Biegemoment im Command Window:

Zum Download verfügbar:

      • MATLAB-Script Aufg18_14Diff.m (wie oben gelistet),
      • MATLAB-Script gabamp.m (für die Lösung des Gleichungssystems mit Bandmatrix).
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