Für die Lösung der Poissonschen
Differenzialgleichung ist in FEMSET ein Dreieckselement mit 6 Knoten vorgesehen. Ein ausführlich kommentiertes Beispiel für die Berechnung des Torsionsträgheitsmoments eines Rechteckquerschnitts unterscheidet sich von dem hier zu lösenden Problem nur in der Generierung des Netzes. Das nebenstehende MATLAB-Script löst die Aufgabe mit der Interface-Routine zu FEMSET.
Die Function TorsArcnetD6 (Zeile 5) erzeugt ein topologisch doppeltsymmetrisches FEM-Netz für einen Kreisbogenquerschnitt (Innenradius ri, Außenradius ra,
Öffnungswinkel alpha), das aus nrad*ntang Rechtecken besteht, die jeweils aus 2 Dreiecken gebildet werden (nrad und ntang müssen geradzahlig sein).
Das Modell wird von der Function drawtorsmod (Zeile 9) gezeichnet (Knoten, denen über die Randbedingungen der Wert 0 zugewiesen wird, sind grün gezeichnet). Die Berechnung der Φ
-Werte wird von der FEMSET-Interface-Function feskal_m erledigt (Zeile 12).
Der gesamte Rest des Scripts berechnet aus den
Φ-Werten das Torsionsträgheitsmoment. Für das Netz, das mit den oben gelisteten Parametern erzeugt wird, erhält man die im nebenstehenden
Command Window zu sehenden Ergebnisse (das Netz ist in dem Graphik-Fenster unten zu sehen).
Das zusätzlich zum Torsionsträgheitsmomente It ausgegebenen Ergebnis
It / (s t3)
ist für den Vergleich mit dem Näherungswert It = (s t3) / 3 gedacht, der üblicherweise für
solche Querschnitte verwendet wird: Dünnwandiges offenes Profil mit der Länge der Profilmittellinie s (hier Länge des Kreisbogens mit dem Radius (ri + ra) / 2
und dem Öffnungswinkel α) und der Breite t (hier ra - ri).
Für verschieden feine Vernetzung erhält man folgende Ergebnisse:
nrad
|
ntang
|
Elemente
|
It/(s*t^3)
|
2
|
10
|
40
|
0,3054
|
2
|
20
|
80
|
0,3106
|
4
|
40
|
320
|
0,3122
|
6
|
60
|
720
|
0,3124
|
10
|
100
|
2000
|
0,3124
|
40
|
400
|
32000
|
0,3125
|
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Man erkennt, dass mit einem Netz von 720 Elementen ein Ergebnis erzielt wird, das sich bei weiterer Netzverfeinerung nicht mehr nennenswerrt verändert.
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