Torsionträgheitsmoment für dünnwandigen Kreisbogenquerschnitt auf Seite 360, Lösung mit Matlab-Femset

Für die Lösung der Poissonschen Differenzialgleichung ist in FEMSET ein Dreieckselement mit 6 Knoten vorgesehen. Ein ausführlich kommentiertes Beispiel für die Berechnung des Torsionsträgheitsmoments eines Rechteckquerschnitts unterscheidet sich von dem hier zu lösenden Problem nur in der Generierung des Netzes. Das nebenstehende MATLAB-Script löst die Aufgabe mit der Interface-Routine zu FEMSET.

Die Function TorsArcnetD6 (Zeile 5) erzeugt ein topologisch doppeltsymmetrisches FEM-Netz für einen Kreisbogenquerschnitt (Innenradius ri, Außenradius ra, Öffnungswinkel alpha), das aus nrad*ntang Rechtecken besteht, die jeweils aus 2 Dreiecken gebildet werden (nrad und ntang müssen geradzahlig sein).

Das Modell wird von der Function drawtorsmod (Zeile 9) gezeichnet (Knoten, denen über die Randbedingungen der Wert 0 zugewiesen wird, sind grün gezeichnet). Die Berechnung der Φ -Werte wird von der FEMSET-Interface-Function feskal_m erledigt (Zeile 12).

Der gesamte Rest des Scripts berechnet aus den Φ-Werten das Torsionsträgheitsmoment. Für das Netz, das mit den oben gelisteten Parametern erzeugt wird, erhält man die im nebenstehenden Command Window zu sehenden Ergebnisse (das Netz ist in dem Graphik-Fenster unten zu sehen).

Das zusätzlich zum Torsionsträgheitsmomente It ausgegebenen Ergebnis

I_t / (s t³)

ist für den Vergleich mit dem Näherungswert  I_t = (s t³) / 3  gedacht, der üblicherweise für solche Querschnitte verwendet wird: Dünnwandiges offenes Profil mit der Länge der Profilmittellinie s (hier Länge des Kreisbogens mit dem Radius  (r_i + r_a) / 2 und dem Öffnungswinkel α) und der Breite t (hier r_a - r_i).

Für verschieden feine Vernetzung erhält man folgende Ergebnisse:

nrad ntang Elemente It/(s*t^3) 2 10 40 0,3054 2 20 80 0,3106 4 40 320 0,3122 6 60 720 0,3124 10 100 2000 0,3124 40 400 32000 0,3125

Man erkennt, dass mit einem Netz von 720 Elementen ein Ergebnis erzielt wird, das sich bei weiterer Netzverfeinerung nicht mehr nennenswerrt verändert.

Zum Download verfügbar sind die oben gelistete Datei TorsArc.m und die von diesem Script aufgerufenen Functions TorsArcnetD6.m, drawtorsmod.m und die DLL als Interface zu FEMSET feskal_m.dll.

Für eine Vergleichsrechnung wird im Beispiel 2 auf Seite 362 ein geschlitzter Kreisring mit dem Abmessungsverhältnis R/t = 8 (Fall b) als offenes dünnwandiges Profil behandelt, der Näherungswert für das Torsionsträgheitsmoment ergibt sich nach dieser Formel zu

I_t = 2/3 π R t^{3  .}

Dieser Wert soll mit dem oben vorgestellten MATLAB-Script, das dafür - wie nachfolgend zu sehen - leicht modifiziert werden muss, bestätigt werden:

Das Ergebnis der Berechnung mit den im Script zu sehenden Parametern, die eine Einteilung der Fläche in 25600 Elemente erzeugt, darf als exakt angesehen werden. Der im Command Window zu sehende zweite Wert entpricht einem Torsionsträgheitsmoment von

I_t = 2,0686 R t³ ,

mit dem bestätigt wird, dass die übliche Näherung als dünnwandiges offenes Profil

I_t,Näherung = 2/3 π R t³ = I_t = 2,0944 R t³

durchaus gerechtfertigt ist.

Für die sehr feine Vernetzung liefert die Graphik das folgende Bild, das erst bei intensivem Zoom Elemente erkennen lassen würde (der “dicke grüne Außenrand” sind die Randknoten):

Zum Download verfügbar sind die oben gelistete Datei TorsArcS362.m und die von diesem Script aufgerufenen Functions TorsArcnetD6.m, drawtorsmod.m und die DLL als Interface zu FEMSET feskal_m.dll.