TMCu, Seite 261, MATLAB, volle Matrix

Ein MATLAB-Beispiel
wird hier ausführlich
beschrieben

Beispiel 1 auf den Seiten 260 bis 262 (Einstiegsbeispiel zum Differenzenverfahren), Lösung mit MATLAB, Gleichungssystem mit voll besetzter Koeffizientenmatrix

Zunächst wird das Gleichungssystem mit 9 Unbekannten

in einem MATLAB-Script direkt erzeugt, und der Lösungsvektor wird komplett in das “Command Window” ausgegeben:

% Gleichungssystem auf Seite 261

clear all

A = [0 0 1 0 0 0 0 0 0 ;
   0 -1 0 1 0 0 0 0 0 ;
   1 -4 6 -4 1 0 0 0 0 ;
   0 1 -4 6 -4 1 0 0 0 ;
   0 0 1 -4 6 -4 1 0 0 ;
   0 0 0 1 -4 6 -4 1 0 ;
   0 0 0 0 1 -4 6 -4 1 ;
   0 0 0 0 -1 2 0 -2 1 ;
   0 0 0 0 0 1 -2 1 0 ] ;

b = [ 0 ;
   0 ;
   1/256 ;
   1/256 ;
   1/256 ;
   1/256 ;
   1/256 ;
   0 ;
   0 ] ;

v = A\b

Nach dem Abarbeiten des links zu sehenden Scripts S261_1.m findet man das Ergebnis im “Command Window” (Bild rechts).

Das folgende Script S261_2.m zeigt die Definition des beliebig großen Gleichungssystems in den wenigen hellblauen Zeilen. Die Möglichkeit unterschiedlich feiner Unterteilung des Trägers wird nur über die Angabe des Wertes für n_A (in der weißen Zeile am Anfang) gesteuert.

% Differenzenverfahren, Beispiel auf den Seiten 260 bis 262

clear all

L = 1 ;
q0 = 1 ;
EI = 1 ;
nA = 100 ; % Anzahl der Abschnitte (nur dieser Wert muss geaendert werden)
n = nA + 5 ; % Anzahl der Gleichungen
h = L / nA ;

A = zeros (n,n) ; % Nullmatrix
b = zeros (n,1) ; % Nullvektor

A(1:2,1:5) = [ 0 0 1 0 0 ; ...
   0 -1 0 1 0] ; % Randbedingungen links: Einspannung
A(n-1:n,n-4:n) = [-1 2 0 -2 1 ; ...
   0 1 -2 1 0] ; % Randbedingungen rechts: Freier Rand

for i = 3:n-2
   A(i,i-2:i+2)= [1 -4 6 -4 1] ; % Standardgleichungen
   b(i) = q0*h^4/EI ;
end

% Lösen des Gleichungssystems
v = A \ b ; % Berechnung der Durchsenkung

format long
vEnd = v(n-2)
phiEnd = (-v(nA+2) + v(nA+4)) / (2*h)
Mblinks = -EI/h^2 * (v(2) - 2*v(3) + v(4))

for i = 3:n-2
   Mb(i) = - EI/h^2 * (v(i-1) - 2*v(i) + v(i+1)) ;
end

z = 0 : h : L ;
subplot (2 , 1 , 1) ; plot (z , v (3:n-2)) , axis ij , title ('Verschiebung')
subplot (2 , 1 , 2) ; plot (z , Mb(3:n-2)) , title ('Biegemoment')

Nach der Lösung des Gleichungssystems werden mit den Zeilen, die nicht mit einem Semikolon abgeschlossen sind, drei Ergebnisse in das “Command Window” ausgegeben: Verschiebung am Trägerende und der Biegewinkel an dieser Stelle, der mit Hilfe der Differenzenformel für die erste Ableitung aus den Verschiebungen der beiden Nachbarpunkte berechnet wird, sowie das auf entsprechende Weise mit der Näherung der zweiten Ableitung berechnete Biegemoment an der Einspannung. Schließlich wird in einer Schleife der gesamte Biegemomentenverlauf berechnet, und Durchbiegung und Biegemomentenverlauf werden in ein Graphik-Fenster gezeichnet. Für die oben gelistete Datei (mit nA = 100) sehen nach der Berechnng das “Command Window” und das Graphik-Fenster so aus:

Um die übrigen Werte der Tabelle auf Seite 262 zu berechnen, muss in der oben gelisteten M-Datei jeweils nur der Wer für n_A geändert werden.

Die oben gelisteten M-Dateien sind als S261_1.m bzw. S261_2.m zum Download verfügbar.

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