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Statik, Festigkeitslehre, Kinematik/Kinetik, 4. Auflage

Ergänzung zum Thema “Finite-Elemente-Modell” auf den Seiten 194 und 195

Auf Seite 194 wird beschrieben, dass ein Finite-Elemente-Berechnungsmodell im Wesentlichen durch Informationen beschrieben wird, die man in fünf Kategorien einteilen kann: Geometrie, Topologie, Element-Parameter, äußere Knotenlasten, geometrische Randbedingungen. Dies soll am besonders einfachen Beipiel eines ebenen Fachwerks demonstriert werden.

Bei der Beschreibung des Berechnungsmodells muss man sich an die vom Programm festgelegten Vorgaben halten. Für das ebene Fachwerk sollen das hier sein:

  • KX = 2 ---> Die Lage eines Knotens wird durch 2 Koordinaten beschrieben.
  • KE = 2 ---> Jedes Element hat 2 Knoten (Endpunkte des Stabs).
  • KF = 2 --->   Jeder Knoten hat 2 Freiheitsgrade (Verschiebungen ux und uy).
  • KP = 1 --->   Ein Element (Stab) wird durch einen Parameter beschrieben (Dehnsteifigkeit EA).

Für das skizzierte Fachwerk mit

      a   =  0,5 m,
      F   =  10 kN,
      EA = 6,3 * 107 N

soll das Finite-Elemente-Modell definiert und mit einem geeigneten Finite-Elemente-Programm berechnet werden.

Nachfolgend werden durchgängig mm und N als Dimensionen verwendet. Dann ergeben sich auch die Ergebnisse (Verschiebungen bzw. Stabkräfte) mit diesen Dimensionen.

Zusätzlich zu den oben angegebenen 4 Parametern, die vom Programm vorgegeben werden, sind es noch 2 Werte des jeweiligen Finite-Elemente-Modells, die die Dimensionen der Matrizen, die das Modell beschreiben, festlegen:

      • NE = 10   --->  Anzahl der Elemente des Systems, in diesem Fall: 10 Stäbe,
      • NK = 7   ---> Anzahl der Knoten des Systems.

Die Nummerierung der Elemente von 1 bis NE und die Nummerierung der Knoten von 1 bis NK erfolgt beliebig. Hier wird die Nummerierung aus der Aufgabenstellung übernommen.

Geometrie:

Bezogen auf ein beliebig festzulegendes globales Koordinatensystem wird für jeden Knoten ein Koordinatenpaar festgelegt (NK*KX-Matrix).

Knoten

x

y

1

0

1000

2

0

0

3

1000

1000

4

1000

500

5

1000

0

6

2000

1000

7

2000

500

Element

Knoten 1

Knoten 2

1

6

7

2

3

6

3

3

7

4

5

7

5

3

4

6

4

5

7

1

3

8

1

4

9

2

4

10

2

5

Koinzidenz:

Für jedes Element werden die Nummern der beiden Knoten (in beliebiger Reihenfolge) festgelegt, an denen das Element angeschlossen ist (NE*KE-Matrix).

Element-Parameter:

Für jedes Element wird der Satz von Parametern festgelegt, der dieses Element charakterisiert, in diesem Fall pro Stab nur ein Wert, die Dehnsteifigkeit EA (NE*KP-Matrix).

Element

EA

1

6,3*107

2

6,3*107

3

6,3*107

4

6,3*107

5

6,3*107

6

6,3*107

7

6,3*107

8

6,3*107

9

6,3*107

10

6,3*107

Knoten

Fx

Fy

1

0

0

2

0

0

3

0

0

4

0

0

5

0

0

6

0

-10000

7

10000

0

Äußere Knotenlasten:

Für jeden Knoten wird ein Kräftepaar festgelegt, wobei Richtung und Richtungssinn durch das bereits für die Knotenkoordinaten verwendete System vorgegeben sind (NK*KX-Matrix).

Geometrische Randbedingungen:

Für jeden Knoten wird festgelegt, welche der beiden möglichen Verschiebungen durch Lager verhindert werden, in diesem Fall durch den Indikator 1 (NK*KX-Matrix).

Knoten

ux

uy

1

1

1

2

1

1

3

0

0

4

0

0

5

0

0

6

0

0

7

0

0

Diese 5 Matrizen (jeweils die gelb unterlegten Elemente) definieren das Berechnungsmodell “Ebenes Fachwerk”. Einige Programme können in der Art der Definition der Matrizen von der hier dargestellten Form etwas abweichen, aber die darin enthaltene Information muss verfügbar sein.

Berechnung des Fachwerks unter Verwendung dieses Berechnungsmodells mit MATLAB

Berechnung des Beispiels mit dem CAMMPUS-Programm FACH2D

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