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Statik, Festigkeitslehre, Kinematik/Kinetik, 4. Auflage

Anhang B: Laufkatze (Erweiterung des Beispiels 2 auf Seite 630), Lösung mit MATLAB

Die Bewegung wird durch ein nichtlineares Diffenzialgleichungssystem 2. Ordnung beschrieben. Die Differenzialgleichungen sind in den Beschleunigungsgliedern gekoppelt.

Mit den MATLAB-ODE-Solvern können Differenzialgleichungssysteme 1. Ordnung gelöst werden. Deshalb wird durch Einführen der neuen Variablen

aus den beiden Differenzialgleichungen 2. Ordnung ein System von 4 Differenzialgleichungen 1. Ordnung, von denen zwei in den Ableitungen gekoppelt sind. Das Differenzialgleichungssystem kann z. B. so formuliert werden:
mit
Den MATLAB-Solvern kann ein in den Ableitungen gekoppeltes System in der impliziten Form

M (t , y)  y’ =  f (t , y)

angeboten werden, das oben angegebene Differenzialgleichungssystem also z. B. so:

Der nachfolgende Bildschirm-Schnappschuss zeigt die Funktion “Laufkatze”, die das Anfangswertproblem realisiert:

Nebenstehend sind das x-t-Diagramm für die Laufkatze und das φ-t-Diagramm für die Last zu sehen. Es lohnt sich, den Bewegungsverlauf für die Laufkatze etwas genauer zu analysieren. Vor dem ziemlich glatten Rücklauf gibt es fünf Mal eine Umkehr der Bewegungsrichtungen. Der nachfolgende Zoom verdeutlicht dies:

LaufkatzeMatlabGraphZoom02

Nach dem Abschalten der Antriebskraft gibt es vor dem Erreichen der Feder (bei x = 5 m) schon eine erste Umkehr der Bewegungsrichtung, nach einer nochmaligen Umkehr kommt es aber doch zum (ersten) Anschlag an die Feder.

Es gibt aber schließlich noch eine weitere Bewegungsumkehr (ohne äußere Krafteinwirkung), so dass es zu einem zweiten Anschlag an die Feder kommt. Danach beginnt die Laufkatze einen relativ gleichmäßig ablaufenden Rückweg.

Dateien für dieses Beispiel, die zum Download verfügbar sind:

  • Die oben zu sehende Datei als Laufkatze.m,
     
  • eine Modifikation der oben gelisteten Datei, die zusätzlich zu den Diagrammen die Bewegung des Pendels als Animation (siehe nebenstehenden Schnappschuss) zeigt, als LaufkatzeAni.m.

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