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Der Träger wird in 210 Abschnitte unterteilt, so dass alle markanten Punkte von einem Stützpunkt für das Differenzenverfahren “getroffen” werden (es entsteht ein lineares Gleichungssystem mit 215
Gleichungen).
Mit der nachfolgend gelisteten AnhBGeraderTraeger.m (steht für Download zur Verfügung) wird das Gleichungssystem aufgebaut, gelöst, die Ergebnisse werden ausgewertet (Berechnung von Biegemoment und Querkraft) und graphisch dargestellt.
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% Anhang B: Gerader mehrfeldriger Traeger
% Differenzenverfahren
clear all
L = 2100 ; % Länge
lb = 800 ;
q0 = 1 ; % Linienlast
F1 = 2000 ;
F2 = 1000 ;
EI = 4.2e9 ; % Biegesteifigkeit
nA = 210 ; % Anzahl der Abschnitte
k = nA + 5 ; % Knotenanzahl
h = L / nA ; % Schrittweite
A = zeros (k,k) ; % Matrix A
b = zeros (k,1) ; % Rechte Seite b
A(1:2,1:5) = [0 0 1 0 0 ; ...
0 -1 0 1 0]; % Randbedingung: Einspannung links
A(k-1:k,k-4:k) = [0 1 -2 1 0 ; ...
1 -2 0 2 -1];
b(k) = 2*F2*h^3/EI ; % Randbedingung: Freier Rand rechts mit Einzelkraft
for i=3:k-2 % Beschreibung der Matrix A in einer Schleife mit
A(i,i-2:i+2)=[1 -4 6 -4 1]; % den Standardwerten 1 -4 6 -4 1
end
iB = 25 ; % Punkt B (Lager)
A(iB,iB-2:iB+2) = [0 0 1 0 0] ;
iC = 105 ; % Punkt C (Lager)
A(iC,iC-2:iC+2) = [0 0 1 0 0] ;
iD = 126 ; % Punkt D (Gelenk)
A(iD-1,iD-3:iD+1) = [1 -4 5 -2 0] ;
A(iD ,iD-2:iD+2) = [1 -2 2 -2 1] ;
A(iD+1,iD-1:iD+3) = [0 -2 5 -4 1] ;
iF = 182 ; % Punkt E (Lager)
A(iF,iF-2:iF+2) = [0 0 1 0 0] ;
for i=iB+1:iC-1
b(i) = q0*(3+4*(i-iB)*h/lb)*h^4/EI ; % Linienlast
end
iE = 153 ; % Punkt E
b(iE) = F1*h^3/EI ; % "Verschmierte" Einzelkraft F1
v =A \ b ; % Loesung des Gleichungssystems (Berechnung der Durchbiegung v)
clf;
x = 0 : h : L ;
subplot (3,1,1) ; plot (x , v(3:k-2)) , grid on , title ('Durchbiegung') % Graphische Ausgabe der Biegelinie
for i=1:k
EIi(i) = EI ;
end
EIi(iD) = 0 ;
for i=3:k-2
M (i) = -EIi(i)*(v(i-1)-2*v(i)+v(i+1))/h^2 ; % Biegemoment
FQ(i) = 0.5*(EIi(i-1)*v(i-2)-2*EIi(i-1)*v(i-1)+(EIi(i-1)-EIi(i+1))*v(i)
+2*EIi(i+1)*v(i+1)-EIi(i+1)*v(i+2))/h^3 ; % Querkraft
end
subplot (3,1,2) ; plot (x , M (3:k-2)) , grid on , title ('Biegemoment') % Graphische Ausgabe Biegemoment
subplot (3,1,3) ; plot (x , FQ(3:k-2)) , grid on , title ('Querkraft') % Graphische Ausgabe Querkraft
AbsenkungGelenk = v(iD) % Ausgabe in das Command window:
AbsenkungPunktE = v(iE) % Zahlenwerte der Verschiebungen ...
AbsenkungPunktG = v(213) % ... an drei speziellen Punkten ...
MbA = M(3) % ... und das Einspannmoment am Punkt A
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 Nach dem Starten von MATLAB wird File | Open gewählt und im Fenster “Open” (unter “Dateityp”
sollte “All MATLAB Files” eingestellt sein) wird in das Verzeichnis gewechselt, in dem sich die Datei AnhBGeraderTraeger.m befindet. Doppelklick auf AnhBGeraderTraeger.m öffnet die Datei in einem
neuen Fenster.
In diesem Fenster wird Debug | Run gewählt. Möglicherweise öffnet sich ein Fenster “MATLAB Editor”, in dem man das Angebot “Change
MATLAB current directory” annehmen sollte. Danach wird die Rechnung ausgeführt.
Die letzten vier Zeilen schicken ausgewählte Ergebnisse in das “Command window” (Bildschirm-Schnappschuss oben links).
Die mit subplot ... eingeleiteten Zeilen davor steuern, dass die jeweils nachfolgenden plot-Befehle in drei untereinander liegenden
Graphik-Bereichen landen. Die Abbildung oben rechts zeigt die Graphik nach einigen kleinen “kosmetischen Korrekturen”
(über das Edit-Menü), z. B. wurde für die Durchbiegung mit “Reverse” für die vertikale Achse erreicht, dass positive Durchbiegungen nach unten gezeichnet werden.
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