Anfangswertproblem, Lösung mit Maple (Student Michael Welsch, HAW Hamburg)

Die skizzierte Masse m ist durch eine Feder gefesselt und kann sich auf der horizontalen Führung reibungsfrei bewegen. Sie ist durch eine (lineare) Feder gefesselt, die im entspannten Zustand die Länge b hat. Die Masse wird um x_anf ausgelenkt und zum Zeitpunkt t = 0 ohne Anfangsgeschwindigkeit freigelassen. Für das Zeitintervall 0 ≤ t ≤ 30 s sollen das Weg-Zeit-Gesetz und das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz berechnet und graphisch dargestellt werden. Ort und Geschwindigkeit der Masse am Ende des Zeitintervalls sind anzugeben.

Geg.: m = 10 kg ;    c = 5 N/m ;    a = 0,4 m ;    b = 0,8 m .

Die Bewegungsdifferenzialgleichung

ist numerisch für die Anfangsbedingungen

 x_anf,1 = - 2000 mm   ,   x_anf,2 = - 1000 mm   ,   x_anf,3 = - 1131,5 mm

zu lösen.

Student Michael Welsch lieferte das folgende (hier leicht modifizierte) Maple-Skript für die Lösung der Aufgabe mit dem klassischen Runge-Kutte-Verfahren 4. Ordnung mit konstanter Schrittweite (rk4) und dem Maple-Standard-Solver “Runge-Kutta-Fehlberg” (rkf45)

> restart;
> with(plots);
> Dgl:= m*diff(x(t),t,t) +c*x(t)*(1-b/(sqrt(x(t)^2+a^2))) = 0;
> m:=10;c:=5;a:=0.4;b:=0.8;
> ic1 := x(0) = -1.1315, D(x)(0) = 0;
> dsolve_ode45 := dsolve({Dgl,ic1}, numeric, range=0..30);
> dsolve_ode45(30);
> dsolve_Runge_Kutta := dsolve({Dgl,ic1},method=classical[rk4], numeric,stepsize=0.015,maxfun=0);
> dsolve_Runge_Kutta(30);
> odeplot(dsolve_ode45);
> odeplot(dsolve_Runge_Kutta,t=0..30);

Die Ergebnisse sind bei einer Schrittweite von 0.015 s (2000 Zeitschritte) mit dem Runge-Kutta-Verfahren 4. Ordnung praktisch exakt (im Sinne der für Ingenieur-Probleme schon übertriebenen Genauigkeit von 5 signifikanten Ziffern für Weg und Geschwindigkeit am Ende des Integrationsbereichs). Die Ergebnisse, die mit dem Runge-Kutta-Fehlberg-Verfahren berechnet werden, zeigen kleine Abweichungen. Für die Bewegung mit der Anfangsbedingung x = 1,1315 m, bei der die Masse in der Nähe von x = 0 vorübergehend fast zur Ruhe kommt, sind die Abweichungen am größten (nebenstehendes Bild), bleiben allerdings in durchaus erträglichen Grenzen.

Herr Welsch fand aber eine Anfangsbedingung für einen noch härteren Test:  x_anf = 1,1313705. Mit dieser Anfangsbedingung sind beim Runge-Kutta-Verfahren 4. Ordnung mit 12000 Schritten sehr genaue Ergebnisse zu erzielen, während die Standard-Rechnung mit rkf45 einen falschen Bewegungsverlauf abliefert (nebenstehendes Bild).

Das Maple-Worksheet steht als FedMassHoriz.mws zum Download bereit.

Lösung der Zusatzaufgabe (J. Dankert): Man kann mit einer Energiebetrachtung die Anfangsbedingung exakt ermitteln, bei der theoretisch der Stillstand bei x = 0 eintreten müsste. In beiden Zuständen ist nur Energie in der Feder gespeichert. Gleichsetzen der Energien entsprechend

liefert neben der trivialen Lösung x₀ = 0 zwei weitere Lösungen:

Mit den gegebenen Werten für a und b erhält man also z. B. mit   x₀ = - 1,13137084989848 m eine etwas größere Anfangsauslenkung für diesen Spezialfall als die, die Herr Welsch für seine Rechnung verwendet hat, so dass klar ist, dass bei der geringeren Anfangsfederspannung (die oben zu sehenden Bewegungsgesetze der Maple-Rechnung) die Masse den Nullpunkt nicht passieren darf.

Auch wenn man die Maple-Rechnung mit dem Anfangswert x(0) = 2*b*sqrt(1-a/b) startet, bleibt die Masse selbst bei feinster Einteilung des Integrationsintervalls nicht länger als etwa bis t = 30 s in Ruhe, was nicht dem Integrationsverfahren anzulasten ist, sondern der internen Darstellung der Zahlen mit begrenzter Länge.