Aufgabe 32-8, MATLAB

Im Skript “Biegeschwingungen gerader Träger” wird diese Aufgabe als Beispiel 3 ausführlich behandelt. Es wird gezeigt, dass sich die Eigenkreisfrequenzen nach der Formel

(l^* ist die hier willkürlich zu l^* = l/2 gewählte “Bezugslänge”) mit den λ_i-Werten berechnen lassen, die sich als Nullstellen der Determinante der Koeffizientenmatrix des folgenden homogenen Gleichungssystems ergeben.

Das folgende MATLAB-Script realisiert dies und die Berechnung und graphische Darstellung der Eigenschwingungsformen:

function aufg32_8det % Biegeschwingung, links eingespannt, Loslager in der Mitte,
   % Einzelmasse rechts

EI = 3000 ;
rhoA = 3 ;
L = 1 ;
m = 2 ;

lamanf = 0 ; % Nach Nullstellen (Eigenwerten) zu ...
lamend = 20 ; % ... untersuchender Bereich
nevmax = 3 ; % Maximale Anzahl zu suchender Eigenwerte
LS = L/2 ; % Bezugslaenge L*

global mdm
mdm = m/(rhoA*LS) ;

delta = (lamend-lamanf)/1000 ; % Schrittweite für das "Scannen" des Bereichs
f1 = ewg (lamanf) ;
iev = 1 ;

for lam = lamanf+delta : delta : lamend
f2 = ewg (lam) ;
if (f1*f2 < 0 | f2 == 0) % Vorzeichenwechsel? Dann ...
   lam0(iev) = fzero (@ewg , [lam-delta lam]) ; % ... Nullstelle suchen
   iev = iev + 1 ;
   if iev > nevmax break ; end % nevmax Nullstellen gefunden?
end
f1 = f2 ;
end

EigenFrequenzen = (sqrt(3000/rhoA) * lam0.^2/LS^2) / (2*pi)

zS = 0 : 0.02 : 1 ;
z = 0 : 0.01 : 1 ;
for i = 1:iev-1
   lami = lam0(i) ;
   c = null (MatrixA(lami)) ;
   Z( 1: 51) = c(1)*cos(lami*zS)+c(2)*sin(lami*zS)+c(3)*cosh(lami*zS)+c(4)*sinh(lami*zS) ;
   Z(51:101) = c(5)*cos(lami*zS)+c(6)*sin(lami*zS)+c(7)*cosh(lami*zS)+c(8)*sinh(lami*zS) ;
   subplot (iev-1,1,i) ; plot (z , Z) , grid on , ... % Schwingungsformen ...
   title (strcat(num2str(i),'. Eigenschwingungsform')) ; % ... darstellen
end

function f = ewg (lam)
f = det(MatrixA(lam)) ;

function A = MatrixA (lam)
global mdm
A = [ 1 0 1 0 0 0 0 0 ;
   0 1 0 1 0 0 0 0 ;
   cos(lam) sin(lam) cosh(lam) sinh(lam) 0 0 0 0 ;
   -sin(lam) cos(lam) sinh(lam) cosh(lam) 0 -1 0 -1 ;
   -cos(lam) -sin(lam) cosh(lam) sinh(lam) 1 0 -1 0 ;
   0 0 0 0 1 0 1 0 ;
   0 0 0 0 -cos(lam) -sin(lam) cosh(lam) sinh(lam) ;
   0 0 0 0 sin(lam)+mdm*lam*cos(lam) -cos(lam)+mdm*lam*sin(lam) ...
   sinh(lam)+mdm*lam*cosh(lam) cosh(lam)+mdm*lam*sinh(lam) ] ;

Nebenstehend und nachfolgend sieht man die Ergebnisse (Eigenfrequenzen im Command Window und die Eigenschwingungsformen in einem Graphik-Fenster).

Das oben gelistete MATLAB-Script steht als aufg32_8det.m zum Download zur Verfügung.

Ergebnis verifizieren durch Vergleich mit einem Spezialfall:

Im Skript “Biegeschwingungen gerader Träger” wird gezeigt, dass die Berechnung des einfachen Systems “Masseloser Träger mit Einzelmasse am Ende” folgende Eigenfrequenz liefert:

Dieser Fall kann mit dem oben gelisteten MATLAB-Script nicht direkt behandelt werden, weil das Nullsetzen der Massebelegung rhoA zur Division durch Null führt. Man kann sich aber mit sehr kleinen Werten diesem Fall sehr gut annähern. Die folgende Tabelle zeigt dies (es wurde jeweils nur eine Eigenfrequenz berechnet, weil das System mit dem masselosen Träger nur einen Freiheitsgrad hat):

rhoA [kg/m]

0,1

0,01

0,001

0,0001

f₁[s^-1]

22,749

22,819

22,826

22,827


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