Aufgabe 32-7, MATLAB

Im Skript “Biegeschwingungen gerader Träger” wird diese Aufgabe als Beispiel 2 ausführlich behandelt. Es wird gezeigt, dass sich die Eigenkreisfrequenzen nach der Formel

(l^* ist die hier willkürlich zu l^* = l/2 gewählte “Bezugslänge”) mit den λ_i-Werten berechnen lassen, die sich als Nullstellen der Determinante der Koeffizientenmatrix des folgenden homogenen Gleichungssystems ergeben.

Das folgende MATLAB-Script realisiert dies und die Berechnung und graphische Darstellung der Eigenschwingungsformen:

function aufg32_7det % Biegeschwingung, links eingespannt, Loslager in der Mitte

EI = 3000 ;
rhoA = 3 ;
L = 1 ;
lamanf = 0 ; % Nach Nullstellen (Eigenwerten) zu ...
lamend = 20 ; % ... untersuchender Bereich
nevmax = 3 ; % Maximale Anzahl zu suchender Eigenwerte
LS = L/2 ; % Bezugslaenge L*

delta = (lamend-lamanf)/1000 ; % Schrittweite für das "Scannen" des Bereichs
f1 = ewg (lamanf) ;
iev = 1 ;

for lam = lamanf+delta : delta : lamend
f2 = ewg (lam) ;
if (f1*f2 < 0 | f2 == 0) % Vorzeichenwechsel? Dann ...
   lam0(iev) = fzero (@ewg , [lam-delta lam]) ; % ... Nullstelle suchen
   iev = iev + 1 ;
   if iev > nevmax break ; end % nevmax Nullstellen gefunden?
end
f1 = f2 ;
end

EigenFrequenzen = (sqrt(EI/rhoA) * lam0.^2/LS^2) / (2*pi)

zS = 0 : 0.02 : 1 ;
z = 0 : 0.01 : 1 ;
for i = 1:iev-1
   lami = lam0(i) ;
   c = null (MatrixA(lami)) ;
   Z( 1: 51) = c(1)*cos(lami*zS)+c(2)*sin(lami*zS)+c(3)*cosh(lami*zS)+c(4)*sinh(lami*zS) ;
   Z(51:101) = c(5)*cos(lami*zS)+c(6)*sin(lami*zS)+c(7)*cosh(lami*zS)+c(8)*sinh(lami*zS) ;
   subplot (iev-1,1,i) ; plot (z , Z) , grid on , ... % Schwingungsformen ...
   title (strcat(num2str(i),'. Eigenschwingungsform')) ; % ... darstellen
end

function f = ewg (lam)
f = det(Matrix(A)) ;

function A = MatrixA (lam)
A = [ 1 0 1 0 0 0 0 0 ;
   0 1 0 1 0 0 0 0 ;
   cos(lam) sin(lam) cosh(lam) sinh(lam) 0 0 0 0 ;
   -sin(lam) cos(lam) sinh(lam) cosh(lam) 0 -1 0 -1 ;
   -cos(lam) -sin(lam) cosh(lam) sinh(lam) 1 0 -1 0 ;
   0 0 0 0 1 0 1 0 ;
   0 0 0 0 -cos(lam) -sin(lam) cosh(lam) sinh(lam) ;
   0 0 0 0 sin(lam) -cos(lam) sinh(lam) cosh(lam) ] ;
f = det(A) ;

Nebenstehend und nachfolgend sieht man die Ergebnisse (Eigenfrequenzen im Command Window und die Eigenschwingungsformen in einem Graphik-Fenster).

Das oben gelistete MATLAB-Script steht als aufg32_7det.m zum Download zur Verfügung.


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